Solutions

Question 1 - Equation vérifiée par la largeur.

Le rectangle est caractérisé par la donnée de la longueur $L$ et de la largeur $\ell$. L'agriculteur, s'il choisit cette forme, est contraint de respecter la surface assignée qui est 6 $\mathrm{km}^2$ soit encore $ 6\cdot 10^{6} $ mètres carrés: $$ 6 \cdot 10^{6} = L \times \ell $$De plus, il a décidé de lier la longueur à la largeur par la relation affine: $$ L = \ell + 10 $$Les données sont exprimées en mètres là aussi. D'où l'équation que la largeur vérifie: $$ \ell \times (\ell +10) = 6 \cdot 10^{6} $$L'aire d'une figure est par nature le produit de deux quantités de type distance. Dans le cas de polygones, il est assez simple de former ce produit, pour un rectangle il s'agira de la longueur par la largeur. Si en plus l'une des deux quantités dépend de l'autre, alors on peut exprimer l'aire en fonction d'une seule quantité, et survient une équation liant la surface imposée (une constante) à un produit dont la seule variable contenue est l'une des deux quantités. Si en plus leur lien est affine, alors on obtient un produit qui se développe sous la forme: $ ax^2+bx $.

Question 2 - Deux solutions mathématiques au problème posé.

Pour montrer que $\alpha$ est solution, on pose un nombre intermédiaire $ m $, pour une présentation plus claire: $ m=\sqrt{6\cdot 10^{6}+25} $.
Le nombre $\alpha$ s'écrit en fonction de $m$ de la manière suivante: $ \alpha=m-5 $.
On calcule plus facilement l'expression $ \alpha \times (\alpha+10) $ en se servant de $ m $.
En effet, elle s'écrit aussi: $(m-5)(m+5)$.
On reconnaît une identité remarquable: $(m-5)(m+5)=m^2-25$.
Or le carré de $m$ est donné directement par sa définition: $m^2=6\cdot 10^{6}+25$.
On en déduit finalement que: $\alpha \times (\alpha+10)=6\cdot 10^{6}$.

De même, on a par définition: $\beta=-\sqrt{6\cdot 10^{6}+25}-5$.
On peut réutiliser le nombre $m$ avec la relation: $\beta=-m-5$.
Ainsi l'expression $\beta \times (\beta+10)$ s'écrit: $ (-m-5)(-m+5) $.
Ce qui donne encore une fois le résultat: $m^2-25$.

Deux solutions au problème viennent d'être mises en évidence par le calcul. Rien de ce qui précède prouve que ce sont les seules. Mais si l'agriculteur choisit l'une d'elles alors il résout son problème.

Question 3 - Le réel et les mathématiques.

Le réel $\beta$ n'a pas de signification réelle, c'est un nombre négatif alors que l'on cherche une largeur. Cette solution apparaît car la surface est le produit de deux nombres, s'ils sont tous deux négatifs alors leur produit sera positif. Le résultat peut avoir un sens mais les moyens utilisés n'en ont pas. On ne peut retenir cette configuration pour l'application concrète de délimitation d'un terrain.

Question 4 - Autres formes d'aires équivalentes au rectangle.

Si l'on choisit de former un disque, il n'existe qu'un seul paramètre qui puisse être modifié, c'est le rayon. Pour obtenir une surface de 6 millions de mètres carrés il faut un rayon $\rho$ vérifiant l'équation d'aire: $$ \pi \rho^2 = 6\cdot 10^{6} $$
D'où deux solutions opposées, dont une seule a un sens physique, par extraction de la racine carrée: $$\rho = \sqrt{\frac{6}{\pi}} 10^{3}$$
Le carré est aussi une figure entièrement déterminée par la donnée d'un seul paramètre, son côté.
Si on le note $x$ alors l'équation à vérifier est: $$ x^2=6\cdot 10^{6} $$
Deux solutions apparaissent et seule celle qui est positive a un sens: $$ x=\sqrt{6} \cdot 10^{3} $$
Soit un trapèze de grande base $B$ et de petite base $b$. La grande est le double de la petite: $ B=2b $.
De plus l'aire est donnée par: $$ \displaystyle \frac{1}{2} \times (B+b) \times h = 6 \cdot 10^6 $$
Sachant que $h$ désigne la hauteur, en combinant les deux équations posées, on trouve: $$ b \times h = 4 \cdot 10^6 $$
L'agriculteur n'a plus qu'à fixer l'un des paramètres $b$ ou $h$ pour définir entièrement son trapèze. De plus, même lorsque les paramètres du trapèze seront fixés, il pourra encore choisir la forme car il n'y a pas de contrainte sur la valeur des angles.

Graphiques de comparaison

Voici trois figures parmi les quatre qui ont été traitées, les proportions sont respectées, le carré ressemble quasiment au rectangle tellement $\ell$ et $L$ sont proches. Chacune d'elles renferme la même aire, il pourrait être intéressant d'aborder le problème de la clôture, sachant que pour une aire imposée l'idéal est de pouvoir faire des économies sur la quantité de matériel destiné à la mise en place d'une séparation. Ci-dessous on représente le cercle et le rectangle avec un quadrillage dont les cases représentent 500 mètres.

Les valeurs approximatives sont: $$ \ell \approx 2444 \, ; \quad L \approx 2454 \, ; \quad x \approx 2449 \, ; \quad \rho \approx 1382 $$

Pour le trapèze, nous avons choisi: $b=h=2000$. La grande base $B$ vaut le double de la petite, d'où: $B=4000$.

{C}

Rappel sur le calcul d'aire

Voici un rappel sur le calcul des aires, partons d'un plan donné sur lequel nous fixons une longueur unité. C'est-à-dire une longueur qu'on appelle la référence ou l'étalon, elle désigne la longueur 1. L'unité physique n'a pas d'importance dans l'exposé qui suit, les résultats sont les mêmes quelque soit l'unité, du moment que l'on exprime tout suivant une même mesure. Rien ne nous interdit de choisir alors le mètre comme unité physique, il s'agit d'ailleurs de l'unité internationale.

Une fois que la longueur unité est établie, nous définissons l'aire référence comme étant celle d'un carré de côté 1. Parce que les surfaces peuvent s'additionner, être soustraites, et qu'il en apparaît de plus grandes que d'autres, nous pensont que nous pouvons leur assigner une grandeur. C'est-à-dire un nombre résumant leur taille.  Le plan étant décomposé suivant deux dimensions, nous dessinons deux droites pour les représenter avec une propriété d'orthogonalité qui ne privilégie ainsi aucune direction particulière.

Reste à fixer une référence d'aire, sachant que nous disposons déjà d'une longueur unité. Celle-ci étant reportée sur les deux droites devenues graduées, nous choisissons la figure la plus simple à construire: un rectangle. Mais parce qu'il n'y a pas de raison de privilégier une dimension plus que l'autre dans le calcul, l'aire de référence, qui sera déterminée par un rectangle, aura même longueur et largeur. On obtient un carré. Pourquoi choisir son côté autre que celui de longueur 1? C'est ainsi que nous imposons l'aire de référence.

Reste que rien n'oblige à désigner cette aire par la grandeur réelle 1. Si ce n'est que puisqu'aucune valeur n'est définie encore et qu'il nous est donc possible d'en choisir une, autant fixer la référence comme étant aussi l'unité. En revanche, une fois celle-ci imposée, toutes les autres aires se mesurent de manière proportionnelle comme pour les longueurs en fonction de leur unité.

• Le carré: s'il est de côté un entier $p$ alors il suffit de subdiviser les côtés en segments de longueur 1. Le carré principal noté $\mathcal{C}$ est composé de petits carrés, dans le vocabulaire des ensembles on dit que $\mathcal{C}$ est la réunion des petits. L'aire de $\mathcal{C}$ est alors la somme des carrés constituants cette réunion, on revient aux bases de la multiplication: il y a $p$ rangées de carrés avec $p$ colonnes. D'où l'aire de $\mathcal{C}$ qui vaut $p^2$.
• Le rectangle: c'est le cas général du carré, s'il y a $\ell$ rangées pour $L$ colonnes, alors l'aire vaut: $\ell \cdot L$.
• Le triangle rectangle: il représente la moitié d'un rectangle en terme d'aire. Il suffit donc de calculer celle liée au rectangle qui le contient et qu iest parfaitement défini par les deux côté formant l'angle droit.

Nous ne pouvons calculer pour l'instant que l'aire de figures de type polygones dont les côtés possèdent des longueurs entières.

Solution

La forme donnée est factorisée, les racines sont connues, on demande la forme développée. Il s'agit d'établir un lien dans cette situation entre les coefficients et les racines, puis entre trois points particuliers et les différents paramètres.

Question 1 - Somme et produit des racines.

On développe directement $f$ en regroupant suivant les puissances de la variable $x$: $$ \begin{align} f(x) & = a (x-\alpha) (x-\beta) \\ & = a ( x^2 - \beta x - \alpha x + \alpha \beta ) \\ & = a x^2 - a (\alpha+\beta) x + a (\alpha \times \beta) \end{align} $$

La forme développée s'écrit de manière classique à l'aide de trois coefficients indépendants: $ax^2+bx+c$. On vient de voir que si un polynôme de cette forme possède deux racines $\alpha$ et $\beta$ alors leur somme et leur produit permettent de reconstituer les coefficients $b$ et $c$: $$ \begin{cases} \alpha + \beta & = -\frac{b}{a} \\ \alpha \times \beta & = \frac{c}{a} \end{cases} $$

Question 2 - Exploiter des données.

Les deux formes de $f(x)$ deviennent avec $(\alpha=1)$ comme suit: $$ \begin{align} f(x) & = a (x-1) (x-\beta) \\ & = a \left( x^2 - (1+\beta) x + \beta  \right) \end{align} $$ La valeur de $f$ à l'abscisse $\sqrt{2}$ permet de relier le coefficient $a$ à la racine $\beta$: $$ f(\sqrt{2}) = \begin{cases} 3 \\ a (\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-\beta) \end{cases} $$. Ce qui donne, à condition que $\beta$ soit différent de $\sqrt{2}$: $$ \displaystyle a=\frac {3} {(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-\beta)} $$ Il se trouve que $(c=a \times \beta)$ d'après la question 1 d'où l'expression qui s'ensuit: $$ c=\frac {3\beta} {(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-\beta)} $$ On peut aussi exprimer $b$ à l'aide de l'autre équation trouvée à la première question: $b=-a(\beta+1)$. D'où: $$ b=\frac {-3(\beta+1)} {(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-\beta)} $$ Il est intéressant de remarquer que nous avons fixé deux points et pourtant la fonction $f$ n'est pas devenue unique. En effet, une racine a été imposée ce qui revient à fixer la valeur en ce réel. Dans notre situation nous avons donc décidé que $f(1)=0$. De plus la valeur en $\sqrt{2}$ a aussi été fixée: $f(\sqrt{2})=3$. S'il avait été question de droite, le fait de se donner deux points aurait suffit à caractériser de manière unique $f$ mais nous venons de voir que pour une parabole il n'en est rien.

Les trois coefficients $a, b, c$ sont entièrement déterminés si les deux racines sont données ainsi qu'un autre point. Mais ici la valeur de $\beta$ reste sujette à discussion. Nous avons $f(\sqrt{2})>f(1)$ et $\beta$ est une racine, un dessin est ici essentiel pour comprendre la problématique, de plus il s'agit de ne pas rester cantonné au cas général mais de tenter quelques exemples, ce qui permet d'observer la forme de la courbe $\mathcal{C}_f$ suivant la position de la racine $\beta$.

Pour répondre directement à la question "que vaut $\beta$ ?" on peut affirmer qu'elle peut prendre toutes les valeurs sauf $\sqrt{2}$. En dehors de celle-ci, pour tout choix de $\beta$ les trois coefficients seront déterminés par les expressions données ci-dessus. Prenons $\beta$ depuis $-\infty$ et faisons le se déplacer sur l'axe des abscisses vers $+\infty$.

$\beta<\sqrt{2} \Longrightarrow a>0$ : Dans cette situation il existe trois positions encore à distinguer. Ou bien $\beta$ se situe avant $\alpha$, ou bien les deux racines sont confondues, ou encore $\beta$ se place entre $\alpha$ et $\sqrt{2}$. Les trois courbes qui suivent donnent le tracé de la courbe avec les valeurs $\beta$ prises parmi $ \{ -0.5 \, ; 1 \, ; 1.2 \} $.

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$\beta>\sqrt{2} \Longrightarrow a<0 $ : Si $\beta$ se situe après $\sqrt{2}$ il n'est pas possible de faire passer une parabole avec des branches dirigées vers le haut, c'est l'interprétation de ce résultat algébrique. Là encore, nous pouvons distinguer trois positions à l'intérieur du cas $ ( \beta > \sqrt{2} ) $. Les trois exemples qui suivent représentent la courbe pour $\beta$ pris parmi $ \{ 2\sqrt{2} - 1 \, ; 1.5 \, ; 2.5 \} $ . Le réel $(2\sqrt{2}-1)$ est particulièrement intéressant, lorsqu'il correspond à la valeur $\beta$ alors le milieu des deux racines devient $\sqrt{2}$ et c'est en cette abscisse que le maximum de la fonction est atteint. Si $\beta$ est compris entre $\sqrt{2}$ et $(2\sqrt{2}-1)$ alors le sommet est atteint avant le point $(\sqrt{2}\, ; 3)$ et si $\beta$ est situé après $(2\sqrt{2}-1)$ alors le sommet vient aussi après $(\sqrt{2}\, ; 3)$.

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Question 3 - Calcul de l'aire du triangle sommet-racines.

Le calcul est impossible si $\beta$ vaut $\sqrt{2}$. Dans tous les autres cas, une méthode consiste à calculer la base $B$ et la hauteur $H$ données par: $$ B = \left| \beta - \alpha \right| \quad H = \left| f \left( \frac{ \alpha+\beta } { 2 } \right)\!\right|$$ Le symbole $\left| \,  \right|$ indique qu'on prend en compte la valeur positive de l'expression se situant à l'intérieur des barres verticales, il s'agit de la valeur absolue étudiée au chapitre 2. Ainsi la base $B$ est la distance séparant les deux racines $\alpha$ et $\beta$, puis la hauteur est la valeur absolue de l'image par $f$ du milieu des deux racines.

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La valeur de $f$ en le sommet $S$ d'abscisse $\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}$ est simple à calculer à partir de la forme factorisée: $$ \begin{align} f\left( \frac{\alpha+\beta}{2}\right) & = a \left( \frac{\alpha+\beta}{2} - \alpha \right) \times \left( \frac{\alpha+\beta}{2} - \beta \right) \\ & = a \left( \frac{\beta-\alpha}{2} \right) \times \left( \frac{ \alpha - \beta } { 2 } \right) \\ & = - \frac{a}{4} (\beta-\alpha)^2 \end{align} $$

Suivant la position de $\beta$ par rapport aux deux points $\alpha$ et $\sqrt{2}$ l'expression $B\times H$ ne comportent pas les mêmes signes. Si $(\beta<\alpha)$ alors on écrit en notant $\mathcal{A}(\beta)$ l'aire: $$ \mathcal{A}(\beta) = - f \left( \frac{ \alpha+\beta } { 2 } \right) \times (\alpha-\beta) $$ puisque l'ordonnée de $S$ est négative et $\beta$ plus petit que $\alpha$. Si $\beta$ se confond avec $\alpha$ alors l'aire est nulle: $ \mathcal{A}(\beta) = 0 $. Ensuite, lorsque $(\alpha<\beta<\sqrt{2})$ l'ordonnée de $S$ est toujours négative mais $\beta$ est plus grand que $\alpha$ ce qui modifie l'expression comme suit: $$ \mathcal{A}(\beta) = - f \left( \frac{ \alpha+\beta } { 2 } \right) \times (\beta-\alpha) $$ Le dernier cas intervient pour $(\sqrt{2}<\beta)$ où l'ordonnée de $S$ devient positive et on a: $$ \mathcal{A}(\beta) =  f \left( \frac{ \alpha+\beta } { 2 } \right) \times (\beta-\alpha) $$

Il reste à appliquer la formule donnant l'aire d'un triangle: $\displaystyle \mathcal{A}(\beta) = \frac{1}{2} B H $. On retrouve la même expression pour la première et la troisième situation, et son opposée pour la deuxième: $$ \mathcal{A}(\beta) = \begin{cases} \frac{a}{8} (\beta - \alpha)^3 & \text{ si } \beta \in ] \alpha\, ; \sqrt{2} [ \\ - \frac{a}{8} (\beta - \alpha)^3 & \text{sinon.} \end{cases} $$

Nous avons conservé l'expression de $\alpha$ et $a$ pour rester le plus général possible, à présent donnons une expression correspondant aux valeurs $(\alpha=1)$ et $a$ en fonction de $\beta$ pour mettre en évidence que l'aire est entièrement déterminée comme la fonction par la donnée de $\beta$ une fois que $\alpha$ et un point ont été fixés au préalable.

Solutions

Les quatre fonctions sont des trinômes du second degré avec le coefficient $b$ nul. La résolution se fait en revenant à la parabole la plus basique: $y=x^2$. Puis nous calculons le sommet des paraboles qui sous cette forme est atteint pour l'abscisse 0, ainsi elles ont toutes pour axe de symétrie celui des ordonnées. Tracer sur une calculatrice leur allure permet de se donner une idée de la situation et corriger ses fautes potentielles, mais il est toujours bon de calculer à la main quelques valeurs pour comprendre l'influence du terme $a$ accompagnant le carré de la variable $x$ et le paramètre $c$. Ces deux coefficients n'agissent pas de la même façon sur la transformation de la parabole de base $(y=x^2)$ .

Question 1 - Résolution de l'équation $\mathcal{E}$ 

1. $ f(x)=0 \iff x^2=-1 $
   Cette équation n'a pas de solution.
   La courbe $\mathcal{C}_f$ ne rencontre pas l'axe des abscisses.
    
2. $ g(x)=0 \iff x^2=1 \iff x \in \{-1\, ; 1\} $
   La courbe $\mathcal{C}_g$ intercepte l'axe des abscisses en -1 et 1.
    
3. $ h(x)=0 \iff x^2=\sqrt{5} \iff x \in \{ -\sqrt[4]{5} \, ; \sqrt[4]{5} \} $
   Le nombre $\sqrt[4]{5}$ est la racine carrée de $\sqrt{5}$, on compose à deux reprises la racine carrée à partir du nombre 5. Il vaut approximativement 1.495 .
    
4. $ i(x)=0 \iff x^2=1$
   C'est la même équation vérifiée par $g$.

Question 2 - Tracé des paraboles.

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Chacune des courbes admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie. Le sommet est atteint en l'abscisse 0 et son ordonnée est la valeur du terme $c$. On calcule quelques valeurs sur le tableau qui suit. Le choix des abscisses se porte sur les cinq nombres suivants : $\{ 0\, ; 0.5\, ; 1\, ; 1.5\, ; 2 \}$ . Il suffit ensuite d'exploiter la symétrie suivant l'axe des ordonnées pour en déduire l'image des opposés. Cette propriété se traduit de manière analytique par l'équation: $$ \forall x \in \mathbb{R} \quad f(x)=f(-x) $$ Les quatre valeurs strictement positives apportent donc quatre autres points pour le tracé. Les valeurs qui suivent sont approximées au centième. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ x & 0 & 0.5 & 1 & 1.5 & 2 \\ \hline \\ f(x) & 1 & 1.25 & 2 & 3.25 & 5 \\ \hline \\ g(x) & -1 & -0.75 & 0 & 1.25 & 3 \\ \hline \\ h(x) & -3.16 & -2.81 & -1.75 & 0.02 & 2.49 \\ \hline \\ i(x) & 2 & 1.5 & 0 & -2.5 & -6 \\ \hline \end{array}$$

Question 3 - Points d'Intersection

La courbe $\mathcal{C}_i$ est la seule des quatre dont les branches sont dirigées vers bas, et puisque son sommet est le plus haut situé sur le même axe que les trois autres, il vient qu'elle intercepte toutes les courbes. Le graphique nous aide déjà sur cette voie. Mais puisque la fenêtre d'affichage est limitée, il est possible que les autres courbes se coupent aussi entre elles en dehors du cadre. Tout l'intérêt de bien poser un problème et savoir mener un calcul réside dans cette limitation de l'observation. De plus, nous levons complètement les doutes par la démonstration. L'intuition est elle-même mise à l'épreuve, si une intersection se dessine entre $g$ et $h$, il est moins facile de se prononcer sur l'équation: $f(x)=h(x)$ .

La recherche algébrique d'une intersection revient encore à la résolution d'une équation polynômiale: $$ f(x)=g(x) \iff x^2+1=x^2-1 \iff 2 = 0 $$ Les deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ ne se coupent pas. Le fait d'écrire $(2=0)$ dans l'expression logique précédente n'est pas une erreur, nous n'affirmons l'égalité entre ces deux nombres mais plutôt qu'il y a intersection si et seulement si 2 vaut 0. Le raisonnement se termine par le constat que puisque cette dernière propriété est impossible, il en va de même de l'équation posée sur les courbes $(f(x)=g(x))$ . Elles ne peuvent se couper. Le comportement des branches de ces deux courbes est identique à celui de deux droites parallèles, à un détail près: plus l'observation se situe vers les infinis et plus elles se rapprochent l'une de l'autre de part et d'autre de la parabole $(y=x^2)$ . $$ f(x)=h(x) \iff (\sqrt{2}-1) x^2 = 1+\sqrt{10} $$ Le carré de $x$ vaut un nombre strictement positif, il existe alors deux solutions distinctes que l'on obtient en extrayant la racine carrée:

$$ x= \pm \sqrt{ \frac{\sqrt{10}+1}{\sqrt{2}-1} } $$
Nous obtenons deux abscisses, pour déterminer entièrement les points il reste à trouver les ordonnées. On s'économise un calcul en se rappelant que les courbes ont même axe de symétrie, donc les ordonnées des deux points sont identiques. Si l'on note $x_1$ l'abscisse positive alors:
$$ \begin{align} f(x_1) & = \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{10}+1}{\sqrt{2}-1} - \sqrt{10} \\ & = \frac{ \sqrt{2} \times (\sqrt{10}+1) }{\sqrt{2}-1} - \frac{ \sqrt{10} \times (\sqrt{2}-1) }{\sqrt{2}-1} \\ & = \frac{ \sqrt{2} + \sqrt{10} }{\sqrt{2}-1} \end{align} $$

Solution

Question 1 - Calcul des coefficients à partir des racines.

Résolution

Le fait que $-1$ et $+1$ soient racines donne la même contrainte sur les coefficients. En effet nous avons expliqué dans le cours qu'une telle expression appartenait à une fonction dite paire. Ainsi l'axe des ordonnées est un axe de symétrie. Fixer une valeur $\lambda$ pour une abscisse $x$ implique le même résultat pour son opposée $-x$. Nous avons choisi $f(1)=0$. Dès lors la valeur en -1 est aussi 0. L'équation vérifiée par $a$ et $c$ est la suivante: \[ a+c = 0 \] Les deux coefficients sont opposés. Vient ensuite la valeur en 2: $f(2)=\sqrt{5}$. Remplaçons la variable $x$ par la valeur 2, on obtient une équation en $a$ et $c$: \[ 4a+c = \sqrt{5} \] Ce qui en substituant $c$ par $-a$ donne le résultat: \[ a = -c = \frac{ \sqrt{5} }{3} \] On en déduit qu'il existe une unique solution au problème, c'est la fonction définie par: \[ x \mapsto \frac{ \sqrt{5} }{3} x^2 - \frac{ \sqrt{5} }{3} \]

Commentaire

Il y avait deux inconnues dans cette question, les coefficients $a$ et $c$. Pour les trouver nous avons posé un système de deux équations où ils apparaissaient. Puis une substitution a suffi. Autre remarque, trois informations sont données: les valeurs en -1, 1 et 2 pourtant nous n'obtenons que 2 équations. La parité de $f$ rend inutile l'une de ces informations.

Question 2 - Factorisation

L'expression précédente se factorise dans un premier temps par le coefficient $a$: \[ f(x) = \frac{ \sqrt{5} }{3} (x^2-1) \] Puis l'identité remarquable termine de donner la factorisation. Ou alors on se rappelle que -1 et 1 sont racines, dans ce cas: \[ f(x) = a (x-1)(x+1) \] Et le coefficient $a$ est connu. Quant au tableau des signes, il suffit de faire apparaître sur une ligne le terme $(x-1)$ puis $(x+1)$ et le coefficient $a$ étant positif n'intervient pas dans la modification du signe du produit.

\[ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline \\ x & & -1 & & +1 & \\ \hline \\ x+1 & - & 0 & + & & + \\ \hline \\ x-1 & - & & - & 0 & + \\ \hline \\ f(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline \end{array} \]

Question 3 - Trouver une fonction différente avec des points en commun.

On entend par forme le fait que $g$ s'écrive analytiquement de la même facon: \[ g(x) = ax^2+c \] Nous reprenons les dénominations $a$ et $c$ mais il faut se garder de les confondre avec les coefficients de $f$. Puisque $g$ possède les mêmes racines on a toujours opposition entre $a$ et $c$. Seulement la valeur en 2 a diminué ce qui donne une parabole plus aplatie. \[ g(2)=1 \; \Rightarrow \; a \times 2^2 + c = 1 \; \Rightarrow \; a = \frac{1}{3} \]

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Question 4 - Généraliser la question 3.

Tout d'abord deux valeurs sont fixées: $h(-1)=h(1)=0$. Et la forme de $h$ est imposée: $(h(x)=ax^2+c)$ pour tout réel $x$. On nous donne deux réels $r$ et $s$ sans plus d'information et l'on voudrait améliorer notre connaissance de la fonction $h$. Comme pour $f$ et $g$ il n'est pas nécessaire d'en savoir plus pour conclure que $h$ se factorise comme suit: \[ h(x) = a (x-1)(x+1) \] En effet -1 et 1 sont racines. La seule inconnue est donc $a$, le problème consiste suivant les valeurs de $r$ et $s$ proposées à donner une expression de $a$. Une difficulté est dans un premier temps d'éliminer les situations impossibles, et avec celle-ci de savoir comment séparer les cas. Rappelons que l'on part d'une information très générale: \[ r \in \mathbb{R} \quad s \in \mathbb{R} \] Une disjonction de cas consisterait dans un premier temps à vérifier ce qui se passe si l'on sépare l'appartenance de $s$ à $\mathbb{R}$ de la façon suivante: \[ (s=0) \quad (s<0) \quad (s>0) \] C'est là un comportement classique dans la recherche que de distinguer les signes, mais rien ne dit qu'il y a mieux à faire. Le fil conducteur pour tous les cas restera l'équation: $h(r)=s$ qui s'écrit plus précisément: \[ a (r-1) (r+1) = s \]

Si $s$ est nul

L'équation obtenue est un produit composé de trois facteurs égal à 0. Ou bien $a$ est nul et alors $h$ est la fonction identiquement nulle. Dans ce cas peu importe la valeur de $r$ nous aurons toujours $h(r)=s$. En fait, quelque soit la valeur de la variable réelle $x$ on aura $h(x)=0$. Ou bien $a$ est non nul et dans ce cas $r$ ne peut avoir que deux valeurs possibles qui sont les racines -1 et 1.

Si $s$ est strictement positif

Le coefficient $a$ ne peut être nul et donc $h$ n'est pas identiquement nulle. De plus $r$ ne peut valoir -1 ou 1 sinon $h(r)$ serait nul. Puisque il ne peut prendre ces valeurs, nous pouvons diviser $s$ par $(r-1)(r+1)$. D'où: \[ a = \frac {s}{(r-1)(r+1)} \] Cette expression indique que pour tout $(s>0)$ et tout $r$ réel différent de -1 et 1 alors il existe une fonction $h$ vérifiant les conditions de la question. De plus nous obtenons une seule solution car le coefficient $a$ est fixé par la donnée du couple $(r,s)$.

Si $s$ est strictement négatif

L'observation du raisonnement précédent montre que nous n'avons pas utilisé la positivité de $s$ mais la négation de sa nullité. Le résultat est donc le même.

Conclusion

Finalement il y a deux cas à distinguer. Ou bien $s$ est nul et alors deux sous-cas apparaissent:

• $a=0$: la fonction $h$ est identiquement nulle. La valeur de $r$ peut être quelconque.
• $a \neq 0$: La fonction $h$ n'est pas identiquement nulle et puisque ses deux racines sont fixées, $r$ ne peut valoir que l'une d'elles. Il y a une infinité de possibilités pour $h$.

Ou bien $s$ est non nul et alors $r$ ne peut valoir -1 et 1. En dehors de celles-ci, il existe alors une seule fonction $h$ répondant à la question et son coefficient $a$ vaut l'expression donnée ci-dessus.

Nous aurions pu mener la recherche suivant les valeurs de $r$, auquel cas partager la réflexion en fonction du signe de $r$ n'est pas un bon choix. Mais plutôt en tenant compte de ces situations: \[ r \in \{ -1\, ; 1 \} \quad r \neq \{ -1\, ; 1 \} \]

Solution

Question 1 - Existence et calcul du minimum.

Symétrie

Le signe de $a$ indique le sens des branches. Elles sont dirigées vers le haut. La fonction admet un minimum si l'on tient compte du fait qu'il est admis qu'une parabole admet un sommet. Dans notre cas particulier il existe deux racines, la symétrie de la figure permet d'en déduire la position du sommet et précisément du minimum lorsque $(a>0)$.

Rien n'empêche d'utiliser ses connaissances pour aboutir au résultat plus facilement, et cela suffit comme démonstration lorsqu'elles sont sensées être acquises au cours des leçons précédentes. Mais aussi nous pouvons chercher par ce chemin le résultat puis proposer une preuve plus rapidement.

La fonction s'exprime sous forme factorisée: \[ f(x) = a x \left( x+\frac{b}{a} \right) \] Ainsi les deux racines sont $0$ et $(-b/a)$. Le sommet est atteint pour leur milieu: \[ \frac{0-b/a}{2} = - \frac{b}{2a} \] C'est le signe de $a$ qui indique qu'il s'agit du minimum sur $\mathbb{R}$.

Minimum

On peut le montrer par le calcul, tout d'abord la valeur en ce minimum est: \[ f \left( -\frac{b}{2a} \right) = - \frac{b^2}{4a} \] Ensuite rappelons la définition d'un minimum: on dit que $f$ atteint un minimum sur $\mathbb{R}$ s'il existe une abscisse $s$ telle que: \[ \forall x \in \mathbb{R} \quad f(x) \geq f(s) \] Le minimum est le nombre $f(s)$ et le réel en lequel il est atteint est $s$. Il peut y avoir plusieurs réels qui atteignent ce minimum.

Soit $x$ un réel, formons la différence: $ \left( f(x)-f(s) \right) $ et montrons qu'elle est positive: \[ \begin{aligned} f(x) - f(s) & = (ax^2+bx)\, -\, \frac{-b^2}{4a} \\ & = \frac{1}{4a} \left( 4a(ax^2+bx)+b^2 \right) \end{aligned} \] Le numérateur est une somme qui est le développement d'une identité remarquable: \[ 4a(ax^2+bx)+b^2=(2ax)^2+2\times 2ax \times b + b^2 = (2ax+b)^2 \] Ce qui prouve que pour tout $x$ réel la différence $ \left( f(x)-f(s) \right) $ est positive. D'où le résultat.

Question 2 - Cas négatif.

Si $(a<0)$ alors $f$ atteint un maximum et l'abscisse de ce sommet ne change pas, seules les branches se renversent en comparaison de la forme précédente. Le calcul que l'on vient de mener peut servir à nouveau puisque rien ne change sauf que le dénominateur $4a$ devient négatif. Ainsi la différence $ \left( f(x)-f(s) \right) $ est un quotient: \[ f(x)-f(s) = \frac{1}{4a} \times (2ax+b)^2 \] dont le numérateur est positif et le dénominateur négatif.

Tableau des signes

Lorsque $(a<0)$ les branches sont dirigées vers le bas, et si $(b>0)$ alors on a une indication sur la position de la racine accompagnant celle qui est propre aux fonctions de la forme $(x \mapsto ax^2+bx)$, c'est-à-dire 0. Ici la racine $(-b/a)$ est strictement positive donc située à droite de zéro d'où le tableau: \[ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline \\ x & & 0 & & -b/a & \\ \hline \\ x & - & 0 & + & & + \\ \hline \\ ax+b & + & & + & 0 & - \\ \hline \\ f(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline \end{array} \]

Graphique

Quant à l'allure de la courbe, l'essentiel est de mettre en évidence la forme parabolique avec les branches vers le bas, la racine 0 et de positionner dans le bon ordre l'autre racine. Puisque $a$ est strictement négatif, les branches sont dirigées vers le bas. Ensuite il reste à connaître le signe de $(-b/a)$. Nous présentons ci-dessous les deux situations envisageables:

Question 3 - Influence du coefficient $b$

On reprend le même tableau que précédemment en étudiant: $f(x)=x(ax+b)$. Le facteur $x$ ne change pas, reste l'autre expression affine. Prenons d'abord le cas $(a>0$ et $b<0)$, en comparaison avec la question précédente les deux coefficients ont changé de signe, ce qui laisse invariant celui de la racine $(-b/a)$: \[ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline \\ x & & 0 & & -b/a & \\ \hline \\ x & - & 0 & + & & + \\ \hline \\ ax+b & - & & - & 0 & + \\ \hline \\ f(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline \end{array} \] Nous pouvons aussi donner la variante $(a>0$ et $b>0)$ directement sur le graphique suivant:

Le dernier cas demandé $(a<0$ et $b<0)$ a été dessiné dans la question 2. Lorsque les deux coefficients ont même signe la racine $(-b/a)$ se retrouve être négative donc à gauche de zéro sur le tableau. Si $a$ et $b$ sont négatifs on retrouvera le même résultat que sur le premier tableau et sinon ce sera le deuxième.

Solution

Question 1

L'expression $(x^2+6x)$ est le début du carré d'une somme. C'est-à-dire d'une expression de la forme: \[(x+B)^2\] Pour se donner une idée développons plutôt ce que l'on recherche au lieu de factoriser: \[ (x+B)^2 = x^2+2Bx+B^2 \] Ainsi nous recherchons le terme $B$ sachant que nous avons en notre possession le début du développement. Il est important de comprendre qu'il ne s'agit que d'un morceau d'où le nom de binôme incomplet. L'identification apporte: \[ 2Bx = 6x \] Il vient que le terme $B$ vaut 3.

C'est ce que nous avons présenté dans le cours. Seulement il s'agissait de formules générales, et il n'est pas très utile de les retenir mais plutôt de savoir les retrouver sur chaque exemple. Remplaçons $B$ par sa valeur trouvée: \[ (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 \] Ce qui donne donc pour l'expression que nous souhaitions mettre au carré: \[ x^2+6x = (x+3)^2-9 \] Pour obtenir la modification sur $f(x)$ il suffit de retirer 1 à chacune de ces dernières expressions. Soit le résultat: \[ f(x) = (x+3)^2-10 \]

Question 2

La même méthode s'applique, seules les valeurs changent. L'observation se concentre toujours sur le terme en $kx$ c'est-à-dire celui de degré 1. Il rassemble en lui le signe de l'identité remarquable, si l'on a une forme: $(x^2+kx)$ on obtiendra une somme sous le carré dans le binôme. S'il s'agit d'une différence $(x^2-kx)$ alors ce sera aussi une différence: \[ \left( x-\frac{k}{2} \right) ^2 \] De plus c'est aussi le terme en $k$ qui indique la valeur de l'autre terme de la somme, dans la question 1 nous l'avons nommé $B$. Ecrivons l'expression: \[ f(x)=x^2-2x+7 \] le double produit indique qu'il s'agira d'une différence. Et le coefficient $2$ montre que le double produit $2B$ vaut $2$. On en déduit que $B$ vaut $1$. D'ailleurs: \[ (x-1)^2=x^2-2x+1 \] Pour retrouver $f(x)$ il nous suffit de rajouter $6$ à chacun des membres de cette équation: \[ (x-1)^2+6 = f(x) \]

Question 3

Voici une variante, au final ce sera toujours la même méthode où seule la connaissance du développement de l'identité remarquable $(x+B)^2$ compte: \[ x^2 +\sqrt{5} x+ \frac{1}{4} \; = \; x^2 + 2 \times \frac{ \sqrt{5} }{2} \times x+\left( \frac{5}{4}-\frac{5}{4} \right) + \frac{1}{4} \] Explication sur le membre de droite: Le premier terme $x^2$ reste inchangé, nous cherchons une expression faisant intervenir une forme $(x+\ldots)^2$ sa présence est donc normale. Le coefficient intégré au terme de degré $1$ est mis sous la forme d'un double produit: \[ 2 \times \ldots \times x \] Il apparaît alors le nombre $\sqrt{5}/2$ dont on sait qu'il faudra retirer le carré pour poser le binôme $(x+\sqrt{5}/2)^2$. Donc on anticipe en faisant apparaître à la fois le carré et son opposé. L'un sert à créer le binôme et l'autre à compenser. Reste à calculer la constante finale qui vaut: \[ -\frac{5}{4} + \frac{1}{4} \] D'où au final le résultat: \[ f(x) = \left( x+\frac{\sqrt{5}}{2} \right) ^2-1 \] C'est cette méthode qui est la plus recommandée car à la fois naturelle et rigoureuse. Une fois l'habitude prise, le calcul se fait en une ligne.

Complément : Intérêt de la forme canonique

Résolution de l'équation $f(x)=0$

La forme du binôme incomplet permet de résoudre aisémment l'équation: $f(x)=0$. Il suffit d'utiliser les outils de base en calcul algébrique et sachant que l'extraction d'une racine carrée se fait en prenant la valeur positive et négative: \[ \begin{aligned} (x+3)^2-10 = 0 & \iff (x+3)^2 = 10 \\ & \iff x+3 = \pm \sqrt{10} \\ & \iff x= -3 \pm \sqrt{10} \end{aligned} \]

De même pour la deuxième: \[ (x-1)^2+6=0 \iff (x-1)^2 = -6 \] Il est impossible de résoudre une telle équation. De manière générale si l'on a une forme: \[ (x+B)^2+M=0 \] avec $M$ strictement positif, l'équation devient impossible sinon cela reviendrait à additionner $M$ avec un autre nombre positif pour obtenir zéro. Or nous avons bien préciser: $M>0$.

Pour la dernière équation: \[ \left( x+\frac{\sqrt{5}}{2} \right) ^2-1 = 0 \iff x = \frac{\sqrt{5}}{2} \pm 1 \]

Construire la courbe par translation

En dehors du fait que l'équation $(f(x)=0)$ est plus simple, la construction de la courbe représentative devient plus intuitive. Prenons la forme: \[ f(x) = (x+B)^2+M \] Et partons de la courbe représentant la parabole la plus basique: \[ g(x)=x^2 \] Calculons $g(x+B)$. Cela donne $(x+B)^2$ qui est le binôme dans l'expression de $f(x)$. Comme nous l'expliquons dans le chapitre 2 il s'agit d'une translation de la courbe. Celle de $\mathcal{C}_g$ est décalée suivant les abscisses par la translation de vecteur $(-B\,;0)$. Prenons un exemple: $B=\sqrt{5}$. Dans ce cas: \[g(x+\sqrt{5}) = \left( x+\sqrt{5} \right) ^2 \] Pour retrouver rapidement le sens de translation il suffit de reconnaître un point particulier. Puisqu'elle se fait suivant l'horizontale les valeurs ne changeront pas, seules les abscisses pour lesquelles elles sont atteintes sont modifiées. Or la racine de $g$ est 0 et celle de la nouvelle fonction: $(x \mapsto g(x+\sqrt{5}))$ est $-\sqrt{5}$.

Dessinons $\mathcal{C}_g$ et voyons dans quelle direction il faut se déplacer pour avoir la même forme de courbe mais avec la nouvelle racine trouvée:

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La deuxième étape consiste à rajouter $M$ au résultat: \[ f(x)=g(x+B)+M \] Ici la transformation est plus intuitive, il s'agit d'une translation verticale et le vecteur qui agit a pour coordonnées $(0\, ; M)$ Pour une abscisse $x$ donnée ce qui est modifiée est l'ordonnée. Cette composition de fonctions fait l'objet de la cinquième section du chapitre 2.

Conclusion: La transformation $(x \mapsto (x+B)^2+M)$ est la composée de deux translations. L'une horizontale dans la direction du nombre $-B$ et l'autre verticale en suivant $+M$. L'objet transformé est la parabole $(x \mapsto x^2)$. La figure ci-dessous prend comme exemple $M$ et $B$ strictement positifs. $B=1.12$ et $M=0.8 $ .

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Solution

Question 1

Forme canonique:

\[ \begin{align} x^2+2x-3 & \; = \; (x^2+2x+1) -1 -3 \\ & \; = \; (x+1)^2-4 \end{align} \]

Résolution:

\[ \begin{align} (x+1)^2-4 = 0 & \iff (x+1)^2 = 4 \\ & \iff x+1 = \pm 2 \\ & \iff x \in \{ -3\, ; 1 \} \end{align} \]

Graphique:

Pour obtenir la courbe représentative de $f$ il suffit de translater la parabole liée à $(x \mapsto x^2)$ de $-1$ à l'horizontale, c'est-à-dire d'une longueur $1$ vers la gauche, et de $-4$ à la verticale, c'est-à-dire d'une longueur $4$ vers le bas. Ceci étant expliqué dans l'exercice 1.6 et pour résumer l'ordre de transformation: \[ x \mapsto x+1 \mapsto (x+1)^2 \mapsto (x+1)^2 -4 \] La première opération est la translation horizontale, c'est un changement de variable: $X = x+1$. La deuxième est le calcul du carré, soit la parabole de base $(X \mapsto X^2)$ mais appliquée à la nouvelle variable. Cela ne change rien à la forme de la courbe, seule sa position est modifiée. Enfin on termine par une translation. Si nous notons $Y=(x+1)^2$ alors la dernière transformation se résume par: $Y \mapsto Y-4$. Chaque point de la courbe trouvée à l'étape $2$ perd ainsi $4$ à son ordonnée.

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Question 2

Forme canonique:

\[ \begin{align} x^2-x+1 & \; = \; \left( x^2-2\times \frac{1}{2} x+ \left( \frac{1}{2} \right)^2 \right) - \left( \frac{1}{2} \right)^2 +1 \\ & \; = \; \left( x-\frac{1}{2} \right) ^2+\frac{3}{4} \end{align} \]

Résolution:

\[ \left( x-\frac{1}{2} \right) ^2+\frac{3}{4} = 0 \iff \left( x-\frac{1}{2} \right) ^2 = -\frac{3}{4} \]

Nous l'avons déjà vu dans l'exercice 1.6. La forme $(x+B)^2+M$ n'a pas de racine si $M$ est strictement positif. Pour en revenir au graphique, il suffit de voir que $0$ est la seule racine à la deuxième étape dans la transformation, si la translation verticale se fait suivant un nombre $(M>0)$ alors cette racine est transportée vers le haut et il n'y a plus d'intersection avec l'axe des abscisses.

Graphique:

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Question 3

Forme canonique:

\[ \begin{align} x^2+18x+3 & = x^2 +2\times 9x+ (81-81) +3 \\ & = (x+9)^2 -78 \end{align} \]

Résolution:

\[ \begin{align} (x+9)^2-78 = 0 & \iff x+9 = \pm \sqrt{78} \\ & \iff x = -9 \pm \sqrt{78} \end{align} \]

Solution

Question 1 - Deux solutions distinctes.

\[ \Delta = 2^2 - 4 \times 3 \times (-3) = 40 \]

Il y a deux solutions distinctes d'après la propriété énoncée dans le cours. Comme d'habitude notons $\beta$ la plus petite: \[ \beta = \frac{-2-\sqrt{40}}{2\times 3} = - \frac{1+\sqrt{10}}{3} \] La plus grande notée $\alpha$ se déduit par une modification du signe devant la racine carrée du discriminant sur l'expression de $\beta $, comme nous n'avons opéré qu'une simplification d'un facteur $2$, le résultat se lit sur la dernière expression trouvée: \[ \alpha =  \frac{-1+\sqrt{10}}{3} \]

Remarque

L'équation $\mathcal{E}$ étant l'égalité d'une expression avec zéro, nous pouvons diviser par n'importe quel nombre non nul, cela ne change rien au résultat. Par exemple si nous divisons par $3$ il vient que $\mathcal{E}$ est équivalente à l'équation: \[ x^2+\frac{2}{3}x-1=0 \] La méthode du binôme incomplet s'applique sans difficulté mais nous ne la préconisons pas une fois que le discriminant et les formules des racines qui en découlent sont connues.  D'ailleurs nous pouvons aussi appliquer cette dernière à la nouvelle équation, cela donne un disciminant $9$ fois plus petit.

Propriété: Multiplier une équation du second degré par un nombre $m$ revient à multiplier son discriminant par le carré de $m$.

Pour les autres questions la démarche est analogue, seule la question 4 demande un traitement plus poussé.

Question 2 - Aucune solution.

Cela vaut la peine ici de simplifier l'expression et de résoudre: $x^2+x+1=0$. On a: \[ \Delta = 1-4\times 1\times 1=-3 \] Il n'y a pas de solution à l'équation.

Question 3 - Nombre d'or.

\[ \Delta = 1 - 4\times (-1) \times 1 = 5 \] D'où les deux solutions: $\displaystyle -\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Notons que les deux racines vérifient: \[ x(x+1)=1 \] Ainsi inverser $x$ revient à lui ajouter $(x+1)$ et l'étude de $\mathcal{E}$ nous apprend qu'il n'y a que deux réels qui vérifient une telle propriété. On parle de nombres d'or.

Question 4 - Etude de cas.

L'équation n'a de sens que si $(a\geq 0)$ car ce nombre est mis en racine carrée. Calculons le discriminant dans un premier temps: \[ \Delta = a-4a^2 = a(1-4a) \] L'objectif est à présent d'effectuer une disjonction des cas suivant le signe de $\Delta$. Pour cela il faut déjà connaître son signe. Voyons le discriminant comme une fonction de $a$. Sa courbe est une parabole et admet comme racine $0$ et &frac14. Le coefficient du second degré vaut $-4$ et son signe indique des branches dirigées vers le bas. Ainsi: \[ \Delta>0 \iff a \in ]0\, ; \frac{1}{4} [$ et négatif en dehors.

Cas $(a \in \{0\, ; 1/4 \} )$

Si $a$ vaut $0$ ou &frac14 l'expression $f(x)$ a un sens et pour $(a=0)$ on doit d'abord en conclure que $f(x)=1$ et donc que $\mathcal{E}$ n'a pas de solution. L'erreur aurait été d'observer la conséquence sur $\Delta$ qui devient nul. Notre conclusion serait alors l'existence d'une unique solution et il aurait fallu diviser $\sqrt{a}$ par $a$. Ce qui n'a pas de sens. On peut formuler une propriété plus générale:

Propriété: Soit l'équation: $ax^2+bx+c=0$. Le calcul du discriminant n'a pas de sens si $a$ est nul.

Si $\displaystyle a=\frac{1}{4}$ alors il y a une seule solution et elle vaut: \[ - \frac { \left( -\sqrt{a} \right) } { 2a^2 } = \frac {1}{2a\sqrt{a}} \]

Cas $(0<a<1/4)$

Le discriminant est strictement positif. L'équation admet deux solutions distinctes: \[ \frac { \sqrt{a} \pm \sqrt{a(1-4a)} } { 2a^2 } \] Simplifions par $\sqrt{a}$: \[ \frac { 1 \pm \sqrt{1-4a} } {2a\sqrt{a}} \]

Cas $(a>1/4)$

Le discriminant est strictement négatif et donc il n'y a pas de racine pour $\mathcal{E}$.

Question 5 - Une seule solution

\[ \Delta = 6^2-4\times 9 = 0 \] L'unique solution vaut: \[ -\frac{6}{2\times 9} = -\frac{1}{3} \] Savoir mener son calcul en maîtrisant les règles et les formules est une bonne chose. Vérifier son résultat en prenant le chemin inverse s'avère utile et prudent: \[ f \left( -\frac{1}{3} \right) = 9 \times \frac{1}{3^2} + 6 \times \left( \frac{-1}{3} \right) + 1 = 1-2+1=0 \] Notons qu'une équation de discriminant nul donne une forme canonique du type: $(x+B)^2+M$ avec la forme du binôme incomplet où: $M=0$. Et $-B$ est l'unique solution à l'équation: $(x+B)^2=0$.

Question 6 - Discriminant égal à 1

\[ \Delta = 21 - 4 \times (-5) \times (-1) = 21 - 20 = 1 \] On applique la formule pour connaître les deux solutions: \[ \frac{ -\sqrt{21} \pm 1 }{2 \times (-5)} \] Soit après simplification: \[ \frac{ \sqrt{21} \pm 1}{10} \]

Solution

Question 1 - Abscisse du minimum.

Le milieu des racines

Les données principales sont les coefficients du polynôme. Les racines s'expriment en fonction de ceux-ci, considérons $\beta$ comme étant la plus petite: \[ \beta = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \alpha = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \] Le milieu $m$ des deux racines se calcule par définition ainsi: \[ m = \frac{\alpha+\beta}{2} = - \frac{b}{2a} \] La forme développée de $f(x)$ donne la valeur $f(m)$ assez facilement: \[ \begin{align} f(m) & = a \times \left( -\frac{b}{2a} \right) ^2 + b \times \left( -\frac{b}{2a} \right) + c \\ & = \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c \\ & = - \frac{b^2}{4a}+c \end{align} \] On peut aussi présenter le résultat avec le discriminant: \[ f(m) = - \frac {\Delta}{4a} \] et constater que la valeur de la fonction au sommet est proportionnelle au discriminant.

Le milieu est le sommet

Nous n'avons pas encore démontré que le point $(m\, ; f(m))$ est le sommet de la courbe. C'est la particularité recherchée. Elle peut se justifier provisoirement en remarquant que le sommet est le seul point appartenant à l'axe de symétrie d'une parabole. L'abscisse de cet axe est le milieu de tout couple $(x_1\, ; x_2)$ tels que $f(x_1)=f(x_2)$. Mieux il suffit de connaître deux point ayant la même image pour en déduire l'abscisse du sommet. Or c'est le cas pour $(\alpha\, ; \beta)$ qui vérifient: $f(\alpha)=f(\beta)$.

Graphique

Etant donné le cas général, nous ne proposerons que l'allure d'une courbe vérifiant les propriétés algébriques de l'énoncé. C'est-à-dire une parabole qui intercepte l'axe des abscisse en deux points (deux racines), dont les branches sont dirigées vers le haut (le coefficient $a$ est strictement positif). Il reste à placer $\beta, \alpha, m$. Le coefficient $c$ apparaît naturellement comme ordonnée à l'origine, choisissons le négatif.

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Remarque: On peut relier $f(m)$ et $m$ autrement que par l'expression de $f$ en remarquant: \[ f(m) = -m^2+c \] 

Question 2 - Expliquer la position du minimum.

Comparaison

Soit $x$ un réel. Estimons $f(x)-f(m)$ c'est-à-dire simplifions l'expression pour être capable de mieux la cerner, entre autres connaître son signe. \[ \begin{align} f(x)-f(m) & = ax^2+bx+c - \left( -\frac{b^2}{4a} +c \right) \\ & = ax^2+bx + \frac{b^2}{4a} \end{align} \] On reconnaît un carré: \[ \left( \sqrt{a}x \right) ^2 + 2 \times \sqrt{a} x \times \left( \frac{b}{2 \sqrt{a}} \right) + \left( \frac{b}{2 \sqrt{a}} \right)^2 \] Ce qui donne: \[ \left( \sqrt{a} x + \frac{b}{2\sqrt{a}} \right) ^2 \] Si on ne l'a pas vu, le plus simple est d'étudier l'expression en résolvant l'équation: \[ ax^2+bx+\frac{b^2}{4a} = 0 \] Le discriminant vaut 0 donc il y a une seule solution, une telle expression garde un signe constant pour $x \in \mathbb{R}$. Il suffit de connaître alors la valeur en un point pour avoir le signe, et le mieux est de remplacer $x$ par zéro. C'est-à-dire de lire le signe de la constante $b^2/(4a)$. Puisque $(a>0)$ par hypothèse on obtient la même conclusion.

Au final: \[ f(x)-f(m) = \left( \sqrt{a} x + \frac{b}{2\sqrt{a}} \right) ^2 \] On peut déjà conclure qu'il s'agit d'une quantité positive. D'où: \[ \forall x \in \mathbb{R} \qquad f(x) \geq f(m) \]

Annulation

C'est une quantité qui est strictement positive pour être plus précis sauf si: $x=m$. Et c'est la seule solution, on améliore l'inégalité précédente en écrivant: \[ x \neq m \Rightarrow f(x)>f(m) \] Il est inutile de préciser qu'il y a équivalence, cela va de soi.

Conclusion

Pour tout $x$ réel la valeur $f(x)$ est au dessus de $f(m)$. On en conclut que $f$ atteint un minimum en $m$. De plus il n'existe qu'un seul réel atteignant la valeur $f(m)$ ce qui n'est pas le cas de toute fonction admettant un minimum.

Question 3 - Relation entre coefficients et racines.

Le calcul de la somme est immédiat: \[ \alpha + \beta = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = -\frac{b}{a} \] Ce qu'on peut retrouver avec $m$ sachant que ce dernier est le milieu des deux racines: \[ \alpha +\beta = 2m \] Quant au produit on peut utiliser les expressions des racines et calculer directement en reconnaissant une identité remarquable: \[\begin{align} \alpha \times \beta & = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \times \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \\ & = \frac{1}{4a^2} \left( -b+\sqrt{\Delta}  \right) \left( -b-\sqrt{\Delta}  \right) \; = \; \frac{1}{4a} \times 4ac \end{align} \] Soit le résultat: \[ \alpha \times \beta = \frac{c}{a} \] Nous pouvons obtenir plus simplement ce résultat en prenant la forme factorisée de $f(x)$: \[ a(x-\alpha)(x-\beta) = ax^2 + a (\alpha+\beta) x + a \alpha \beta \] Par identification avec la forme développée: $ax^2+bx+c$ on retrouve la réponse.

Remarque

C'est là un résultat général que nous développons pour le degré 3 notamment en fin de chapitre. Les coefficients d'un polynôme et les racines éventuelles sont liées suivant des formules précises. Les connaître permet de déduire plus rapidement les paramètres manquant lors de la résolution d'un problème.

Question 4

Pour retrouver $f(m)$ en fonction des racines il suffit de repartir de la définition: \[ m = \frac{\alpha+\beta}{2} \] et de calculer $f(m)$ à partir de la forme factorisée par exemple: \[\begin{align} f(m) & = a ( m - \alpha ) ( m - \beta ) \\ & = a \left( \frac{\beta-\alpha}{2} \right) \left( \frac{\alpha-\beta}{2} \right) \\ & = -\frac{a}{4} (\alpha-\beta)^2 \end{align} \] On remarquera qu'il reste le coefficient $a$ et il ne sera pas possible de l'exprimer en fonction des seules racines. En effet, le sommet n'a pas sa valeur uniquement liée à la position des deux racines. Il faut un terme supplémentaire pour indiquer la profondeur atteinte par la parabole et cette information n'est révélée que par $a$. C'est un indicateur de la verticalité des branches et comme on peut le constater deux courbes peuvent avoir les mêmes racines mais pas le même sommet.

On retrouve ce calcul en repartant d'un résultat obtenu à la question 1. qui était que: \[ f(m) = \frac{\Delta}{4a} \] Et la différence des racines dans le bon ordre (la plus grande à laquelle on retire la plus petite) qui vaut: \[ \alpha-\beta=\frac{\sqrt{\Delta}}{a} \]

Exprimer $f(m)$ en fonction des coefficients est plus direct puisque nous l'avons déjà obtenu: \[ f(m)= \frac{\Delta}{4a}= -\frac{b^2}{4a} + c \]

Question 5

L'objectif d'une telle question est d'apprendre à corriger des résultats quand une donnée a été modifiée. Ici nous avons changé le signe de $a$. Le minimum devient un maximum. La conduite des calculs ne change pas, on retrouvera toujours le nombre $a$ mais l'étude qualitative est différente, les signes des grandeurs calculées changent. Reprenons les questions une par une et discutons des modifications:

1. Les expressions de $m$ et $f(m)$ sont les mêmes. Mais $f(m)$ devient un maximum.
2. Cette fois-ci la différence donne: $$ - \left( \sqrt{-a} x + \frac{b}{2\sqrt{-a}} \right) ^2$$ qui est une quantité négative pour tout $x$ réel.
3. La réponse ne change pas.
4. Idem.

Solution

Question 1 - Deux paraboles qui se croisent deux fois.

On forme la différence: \[ h(x)=f(x)-g(x)=2x^2+\frac{1}{2}x-1\] On résout l'équation $\mathcal{E}$ pour la fonction $h$: \[ \Delta=\frac{33}{4} \] Les deux racines sont: \[ \alpha, \beta = \frac{1}{8}(-1\pm \sqrt{33}) \] Une fois la partie algébrique terminée il reste à interpréter dans le sens de la géométrie. Pour une différence $h(x)$ admettant des racines nous obtenons trois situations:

• Si $x$ vaut l'une des racines alors $f(x)=g(x)$. Les courbes se croisent en exactement deux points, qui ont pour abscisses les racines de $h$.
• Si $x \in ]\beta\, ; \alpha[$ alors $h$ est strictement négative, c'est-à-dire: $f(x)<g(x)$. La courbe $\mathcal{C}_f$ est en dessous de celle de $g$.
• Si $x \in \mathbb{R} \setminus [\beta\, ; \alpha]$ alors c'est la situation inverse. La fonction $h$ est strictement positive, donc $f>g$ sur cette partie de $\mathbb{R}$, ce qui se traduit par une position de $\mathcal{C}_f$ plus élevée que $\mathcal{C}_g$.

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Question 2 - Influence de l'ordonnée à l'origine

Ici la fonction $f$ n'est pas entièrement définie, il y a un paramètre $c$ pour la constante. La courbe possède donc une pente égale à +1 quelque soit la valeur de $c$. Elle est donc parallèle à la courbe liée à la fonction linéaire classique $(x \mapsto x)$. Seule son ordonnée à l'origine est à déterminer et c'est la valeur portée par $c$. La comparaison se fait avec la parabole tout aussi classique $(x \mapsto x^2)$.

Intuitivement, si l'on se représente la droite d'équation $(x \mapsto x)$ avec la possibilité de coulisser le long de l'axe des ordonnées, on verra qu'il y aura tantôt deux solutions au problème $(f=g)$ si $c$ est parmi des valeurs élevées, puis aucune solution si $c$ est assez faible. Il se peut qu'il n'y est qu'une seule solution si l'on place à un endroit précis la droite. Ce qui est simple à découvrir dans le cas d'une application de l'outil de dérivation, en attendant nous résolvons la question à l'aide de la méthode du discriminant.

Soit $h$ la fonction définie par \[ h(x)=f(x)-g(x)=-x^2+x+c \] le discriminant vaut: \[ \Delta = 1+4c \] Nous avons déjà rencontré cette situation dans l'exercice 1.8 pour la 4ème question. La valeur de $c$ donnera le signe de $\Delta$ et le signe de $\Delta$ indiquera la position des courbes.

Cas sans intersection

Le discriminant est strictement négatif si et seulement si $c$ est strictement plus petit que l'opposé du quart de l'unité. Et il y a équivalence entre ce signe et la configuration où les deux courbes ne se croisent pas. Or si deux courbes ne se croisent, et c'est là un résultat général, la position de l'une par rapport à l'autre reste inchangée. Ce sont là des propriétés simples mais qu'il convient d'assimiler pour en faire des mécanismes à insérer plus tard dans des recherches plus techniques.

Or ce que révèle le signe négatif de $\Delta$ n'indique pas le signe de $h$, mais seulement que son signe est constant. Il reste à vérifier sur n'importe quelle valeur $h(x)$ et le plus simple reste de remplacer $x$ par zéro. Ainsi nous avons trouvé: \[ c<-\frac{1}{4} \quad \Longleftrightarrow \quad \Delta < 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \forall x \in \mathbb{R} \quad f(x)<g(x) \] Ceci traduit le fait que la droite $\mathcal{C}_f$ se situe sous la parabole. Et cette propriété se vérifie pour tout réel $x$. Nous pouvons simplifier l'expression en affirmant seulement: \[ f<g \; \text{ sur } \, \mathbb{R} \]

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Dans le second problème du livre nous évoquons une autre question: la distance droite-parabole. La connaître c'est savoir quels objets peuvent traverser un obstacle constitué par les deux courbes. On cherche à caractériser les réels $r$ et $s$ indépendants l'un de l'autre mais tels que $|f(r)-g(s)|$ soit le plus petit possible.

Cas d'une seule intersection

On a: \[ \Delta = 0 \quad \iff \quad c = -\frac{1}{4} \] Ceci nous apprend que l'équation $h(x)=0$ admet une et une seule solution uniquement lorsque $c$ vaut $(-1/4)$. En le point vérifiant l'équation $(h=0)$ la parabole $\mathcal{C}_g$ rencontre la droite $\mathcal{C}_f$. Et il n'y a que cette intersection. Il y a une confusion à ne pas faire, confondre la solution $x$ de l'équation $(h=0)$ et la valeur du coefficient $c$ qui permet d'avoir une unique solution à $(h=0)$.

Deux configurations sont possibles dans le cas général si l'on ne cherche pas à se représenter la rencontre d'une droite et d'une parabole plus précisément. Ou bien les positions changent en ce point et elles ne peuvent changer ailleurs sans rencontre. Et puisque il n'y en a qu'une, un seul changement se sera produit sur tout $\mathbb{R}$. Ou bien la rencontre a lieu sans changer de position, situation la plus générale pour les droites dites tangentes. Mais ce n'est qu'une généralité.

Dans notre cas, résolvons: $h(x)=0$. Puisque le discriminant est nul il suffit de poser: \[ \delta=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2} \] En le point $(\delta\, ; f(\delta))$ les courbes liées à $f$ et $g$ se rencontrent. Reste à savoir ce qu'il en est de leur position à droite puis à gauche de $\delta$. De ce que nous venons d'exposer il apparaît qu'il n'y a qu'une seule position à gauche, et une seule à droite. Ainsi il suffit de rechercher la valeur $h(x)$ pour un réel $x$ situé à droite de $\delta$ puis à gauche. Et cela suffira pour conclure. Cette méthode est générale, ici nous faisons mieux en rappelant que $h$ est l'équation d'une parabole ayant une unique solution, la forme de sa courbe implique que le signe à gauche est le même qu'à droite. Donc il est inutile de rechercher deux valeurs, une seule suffira. Là encore, nous développons une idée non pour rendre les choses lourdes mais apporter au lecteur ces petites idées qui font qu'une recherche se simplifie vite, pour aboutir  plus tard à la capacité de résoudre des problèmes hautement plus difficiles.

Nous calculons la valeur la plus simple à trouver: $h(0)=-1/4$. Ainsi $h$ est négative strictement sur tout $\mathbb{R}$ et nulle uniquement en $(-1/4)$. En ce point cela s'interprête par une intersection aux deux courbes liées à $f$ et $g$ et quant au reste de l'intervalle réel partout la parabole est au dessus de la droite. Dans le cours traitant de la dérivation, nous apprenons que $\mathcal{C}_g$ est la tangente à la parabole en $\delta$. Le seul point en lequel la dérivée vaut +1.

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Cas avec deux intersections

La méthode reste la même, bien que le résultat soit plus complexe: \[ \Delta > -\frac{1}{4} \quad \iff \quad c > -\frac{1}{4} \] Dans ce cas il y a deux solutions à l'équation $(f=g)$ qui sont \[ \beta, \alpha \; = \; \frac{1}{2} ( 1 \pm \sqrt{1+4c} ) \] L'étude du signe pour l'équation du seconde degré nous apprend qu'il suffit de lire le signe du coefficient de plus haut degré pour en déduire ce qu'il en est à l'extérieur du segment formé par les deux racines, et ce qu'il en est à l'intérieur. Le coefficient est à lire sur l'expression de :$h(x)=-x^2+x+c$. Il est négatif, ses branches sont dirigées vers le bas, donc $h$ est négative en dehors du segment et positive à l'intérieur. On en déduit que $(f-g>0)$ à l'intérieur et l'opposé à l'extérieur. Soit, pour finir: la droite est au dessus de la parabole entre $\alpha$ et $\beta$ et en dessous au dehors.

L'éloignement des racines vaut toujours dans le cas général $\displaystyle \frac{\Delta}{a}$ et ici puisque $(a=1)$ et selon la valeur du discriminant nous savons que: \[ \alpha-\beta = \sqrt{1+4c} \] Plus $c$ est grand et plus les racines sont éloignées. La valeur de $c$ indique la hauteur de la droite. Et un dessin permet de se figurer ce phénomène, ce qui est intéressant dans la formule précitée c'est de savoir à quelle vitesse évolue cet écart par rapport au paramètre $c$.

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Pour finir sur cette question, nous avons procédé par disjonction des cas. Ceux-là sont l'ensemble des valeurs prises par $c$ sur tout $\mathbb{R}$. Et l'ensemble a été coupé en trois, l'intervalle $]-\infty\, ; -1/4[$ qui n'a donné aucune racine à $h$ puis le singleton formé par $(-1/4)$ et enfin ce qui reste: $]-1/4\, ;+\infty[$. Toutes les possibilités ont été traitées, la question est close.

Question 3 - Quel coefficient modifie les résultats?

Il suffit de poser la différence pour s'apercevoir de la simplicité du problème: \[ h(x) = f(x)-g(x) = \left( a-(a-1) \right) x^2 + c = x^2+c \] On en revient aux cas particuliers vus en cours. Une nouvelle disjonction de cas s'effectue:

• Si $(c>0)$ alors $(h>0)$ sur tout $\mathbb{R}$. Et réciproquement. C'est le cas où $\mathcal{C}_f$ est au dessus de $\mathcal{C}_g$.
• Il y a une unique solution à l'équation $(h(x)=0)$ si et seulement si $c$ est nul. Dans ce cas, $h$ est positive sur tout $\mathbb{R}$ et s'annule en l'abscisse $x$ vérifiant $(x^2=0)$ ce qui correspond à $(x=0)$. La courbe représentant $f$ est au dessus de celle de $g$ et elles se croisent en l'abscisse $(x=0)$.
• Si $(c<0)$ alors $h$ s'annule en deux points d'abscisse: $\pm \sqrt{c}$. Le coefficient de second degré vaut +1, ainsi $h$ est négative entre les deux racines et positive en dehors.

Ci-dessous, tracée en noir la courbe $\mathcal{C}_g$ pour: $(a=3/2)$ et $(b=1/2)$. Puis en bleu les trois configurations possibles pour la courbe liée à $f$.

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Question 4 - Un exemple de paramètres en commun.

La fonction $h$ s'écrit: \[ h(x) = (a-b) x^2 + (b-a) x +2 \] Le discriminant: \[ \Delta = (b-a)^2-8(a-b) \] nous étudions cette quantité comme fonction de deux variables $a$ et $b$. Cela n'a rien de difficile, il suffit de rester rigoureux dans la démarche. Selon que $\Delta$ soit nul, positif ou négatif, les configurations seront différentes. Sa valeur ne nous intéresse pas, seul son signe compte. C'est là l'objectif à réaliser. Petite remarque pour fixer les idées: nous écrivons: $\Delta = (a-b)^2 -8(a-b)$. Et on pose $B=(a-b)$. D'où:$\Delta=B^2-8B$.

Cas du discriminant nul

\[ \Delta = 0 \; \iff \; B(B-8)=0 \] Ce qui donne deux situations:

• $(a=b)$. Dans ce cas il faut toujours vérifier ce que cela entraîne sur les expressions des fonctions, en particulier pour $h$ qui est la fonction constante égale à 2. Il n'y a pas contradiction dans le résultat, seulement il n'est pas permis d'utiliser la méthode du discriminant si $a$ est nul ce qui est le cas ici. D'où le résultat apparemment contradictoire. Au final, ce cas particulier donne $(f>g)$ sur tout $\mathbb{R}$.
• $(a=b+8)$. le coefficient du second degré est non nul, ainsi la méthode est valable. L'intersection des deux courbes correspond à l'abscisse de la racine de l'équation $(h(x)=0)$ soit: \[ \frac{a-b}{2(a-b)}=\frac{1}{2} \] Pour le reste $h$ est de signe constant, or $h(0)=2$. Donc $(f>g)$ sur tout $\mathbb{R}$ sauf en $1/2$ où il y a la seule intersection.

Cas du discriminant négatif

Observons: $\Delta = B^2-8B$. Le discriminant est un polynôme du second degré en $B$. Les méthodes connues pour l'étudier doivent être appliquées pour faciliter l'exposé. Il possède deux racines qui sont $0$ et $8$. On en déduit immédiatement sur la lecture du signe du coefficient de plus haut degré qu'entre ces deux nombres, $\Delta$ est strictement négatif. La fonction $h$ ne change pas de signe et puisque $h(0)=2$ alors $(f>g)$ sur tout $\mathbb{R}$.

On a donc: \[ a-b \in [0\, ; 8 [ \iff f>g \] Le cas où $(a=b)$ se retrouve ici-même.

Cas du discriminant positif

Pour toutes les autres possibilités, c'est-à-dire lorsque $(a-b<0)$ ou $(a-b>8)$, le discriminant est strictement positif et les deux solutions pour $(h(x)=0)$ sont: \[ \beta, \alpha \; = \; \frac{(a-b)\pm \sqrt{\Delta} }{2(a-b)} \] Ce qui s'exprime aussi de la sorte après simplification: \[ \frac{1}{2} \left( 1 \pm \sqrt{1-\frac{8}{a-b}} \right) \] A noter qu'en lisant cette dernière expression, on retrouve les deux cas $(a=b)$ et $(a-b=8)$ qui ne peuvent fournir de racines suivant cette formule.

Reste à savoir comment sont placées les courbes liées à $f$ et $g$ à l'intérieur du segment formé par les deux racines et en dehors. Il se trouve que cela dépend du signe du coefficient de second degré dans l'expression de $h(x)$. Or il est variable suivant $a$ et $b$.

• Si $(a-b<0)$ alors les branches sont dirigées vers le bas, c'est-à-dire que $h$ est strictement négative en dehors de $[\alpha\, ; \beta]$.
• Si $(a-b>8$ alors ce sera le contraire.

Alors que pour la question 2. la disjonction de cas se faisait sur $c$, ici elle se fait sur le couple $a$ et $b$ mais suivant la relation $(a-b)$ seulement, on n'a donné aucune valeur particulière à ces deux réels. Ce qui compte est leur écart l'un par rapport à l'autre.

Solution

Question 1

(a)

La différence vaut: $h(x)=x$. La fonction $h$ est linéaire, la conclusion est la suivante:

• $(f<g) = \mathbb{R}^{-*}$
• $(f=g) = \{0\}$
• $(f>g) = \mathbb{R}^{+*}$

Ce qui correspond au graphique de gauche.

(b)

La différence vaut: $h(x)=1$. La fonction $h$ est constante strictement positive, la conclusion est la suivante:

• $(f<g) = \emptyset $
• $(f=g) = \emptyset $
• $(f>g) = \mathbb{R} $

Ce qui correspond au graphique de droite. Il y a comme une illusion d'optique nous faisant croire que les courbes se rapprochent de plus en plus. Mais en réalité notre oeil ne compare pas des valeurs de $f$ et $g$ aux mêmes abscisses. Pour un réel $x$ donné l'écart entre $f(x)$ et $g(x)$ reste le même, ainsi un segment vertical peut coulisser le long des deux courbes sur tout $\mathbb{R}$.

Question 2

(a)

$\displaystyle h(x)= -x+\frac{1}{2}$. Il s'agit du quatrième cas vu dans la section et le résultat est le suivant:

• $\displaystyle (f<g) = ]\frac{1}{2}\, ; +\infty [$
• $\displaystyle (f=g) = \{ \frac{1}{2} \}$
• $\displaystyle (f>g) = ]-\infty\, ; \frac{1}{2} [$

Il y a une intersection, ce qui exclut le graphique de droite. Si un segment vertical se déplace avec une extrémité appartenant à chaque parabole, alors il rétrécie de manière linéaire, ce qui est la conséquence du coefficient directeur de la droite $\mathcal{C}_h$ et l'ordonnée à l'origine nous indique la taille du segment lorsqu'il passe en zéro. Il devient nul pour le réel $x$ annulant $h$, soit encore un demi. Puis ses bornes changent de position et il grandit de nouveau.

(b)

$h(x)=2x^2-22x+51$. On retrouve le 5ème cas. Le discriminant vaut -8, ainsi les deux courbes ne se rencontrent pas, et vu que $h(0)$ est strictement positif on en déduit que c'est $\mathcal{C}_f$ qui est au dessus de $\mathcal{C}_g$. Ce qu'on retrouve en comparant les branches, celles de $\mathcal{C}_f$ sont dirigée vers le haut. Le graphique de droite correspond à une telle situation.

Question 3

(a)

$\displaystyle h(x) = 2x^2-x+\frac{1}{8}$. Il s'agit du cinquième cas avec le discriminant nul. La racine de $h$ vaut un quart. La valeur $h(0)$ est strictement positive donc: \[ (f>g) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{1}{4} \} \] Quant au singleton formé par un quart il vaut $(f=g)$. C'est le graphique de gauche qui correspond.

(b)

$h(x)=2x^2-19x+43$. Le discriminant vaut 17 et les racines sont: \[ \frac{19 \pm \sqrt{17}}{4} \] Le signe de $h$ se déduit aisément et l'on conclut en notant $\beta$ la plus petite et $\alpha$ la plus grande des racines:

• $\displaystyle (f<g) = ] \beta\, ; \alpha [$
• $\displaystyle (f>g) = \mathbb{R} \setminus [\beta\, ; \alpha]$
• $\displaystyle (f=g) = \{ \beta\, ; \alpha \}$

Cela termine la section avec un exemple du 5ème cas pour un discriminant strictement positif.

Solution

Question 1

On part de l'hypothèse que les trois points sont quelconques, donc toutes les configurations sont possibles. Le fait de restreindre en supposant que deux d'entre eux sont confondus ne signifie pas que le troisième est distinct. Il peut être aussi confondu avec les deux autres. La question est précise: Combien. On ne cherche pas à savoir comment sont ces paraboles, si les branches sont dirigées en haut ou en bas, quel est leur axe de symétrie ou autre. Mais seulement quelle quantité. Soit il y en a un nombre fini et il faut donner la quantité exacte, soit il y en a une infinité, et on le prouve. On appelle $f$ une fonction susceptible de répondre aux contraintes.

Trois points confondus

Dans ce cas, il existe une infinité de paraboles. La contrainte imposée consiste en l'existence d'un point $A$ de coordonnées $(e\, ; f)$ pour lesquels les éventuels coefficients de $f$ vérifient: \[ ae^2+be+c=f \] Les coefficients sont ici les inconnues du problèmes. Les coordonnées $e$ et $f$ sont considérées comme connues et peuvent donc être exploitées pour exprimer les solutions. Voici la preuve algébrique qu'il existe une infinité de fonctions $f$ répondant au problème:

Fixons $b$ et $c$. Alors $a$ devient connu: \[ a =\frac{1}{e^2} (f-be-c) \] sauf si $e$ vaut zéro. Mais dans ce cas, cela signifie que $A$ est le point de la courbe dont l'abscisse est l'origine. L'équation de contrainte devient: \[ c=f \] L'inconnue $c$ est imposée et vaut $f$. Quant à $a$ et $b$ ils peuvent prendre n'importe quelle valeur, la contrainte sera vérifiée. D'où l'infinité de paraboles dans ce cas. Si $(e\neq 0)$ alors on retrouve l'équation ci-dessous où l'on divise par $e^2$. En fixant $b$ et $c$ on obtient la valeur de $a$. En laissant $c$ fixé, on constate qu'on est libre de poser n'importe quelle valeur pour $b$, il sera possible de choisir $a$. Enfin, le même constat est à faire sur $c$ alors que l'on aura encore rien fixé pour $b$, tout réel permet d'aboutir à une solution. Au final, dans cet ordre de choix, il nous est possible de fixer $c$ puis ensuite de choisir aussi $b$ de manière indépendante, enfin on trouvera qu'il existe une valeur unique pour $a$ permettant de créer une fonction $f$ répondant au problème: \[ f(x) = \frac{1}{e^2} (f-be-c) x^2 + bx + x \] Il est possible de procéder en choisissant arbitrairement $a$ puis $b$, la valeur de $c$ en découle, ou encore de n'importe quelle façon sur deux coefficients, le troisième trouvera son existence. La réponse à la question est la suivante:

Si les trois points sont confondus, alors le problème revient à savoir combien de paraboles passent par un point donné du plan. Il y en a une infinité quelle que soit le choix de ce point. La réponse aurait pu être donnée à partir d'une simple considération géométrique. Nous pouvons le prouver pour le point $A(0\, ;0)$ et il suffit de conclure avec une translation. Tout point de coordonnées $(e\, ; f)$ est le translaté de $(0\, ; 0)$. Une parabole qui passe par l'origine a une image par cette translation passant par le point $(e\, ; f)$.

Deux points distincts

Supposons que $A$ et $C$ sont confondus et $B$ est distinct de $A$. Cela ne change rien au problème. Il y a un cas particulier: si $A$ et $B$ sont alignés à la verticale il vient de toute évidence qu'aucune parabole ne les contient puisque nous cherchons celles qui sont liées à des fonctions. Il faudrait considérer le plan de manière générale et chercher les paraboles au sens large, d'un point de vue purement géométrique. Seulement, nous considérons dans notre problème uniquement celles de la forme: $(y=ax^2+bx+c)$ donc telles que l'axe de symétrie est parallèle à l'axe des ordonnées.

Soit à présent $A(e\, ; f)$ et $B(g\, ; h)$ avec $(e\neq g)$. Rappelons que les inconnues du problème sont $a,b,c$ et les quatre réels $e,f,g,h$ sont des données exploitables. Le cas général du problème fait qu'on en conserve une description littérale. Une fonction $f$ solution du problème vérifie le système: \[ \left\{ \begin{aligned} ae^2+be+c & =f  \\ ag^2+bg+c & = h \end{aligned} \right. \] Distinguons là encore deux cas:

$e$ et $g$ ne sont pas opposés

On pose la différence entre les deux équations: \[ a(e^2-g^2)+b(e-g)=f-h \] L'explication de la nouvelle hypothèse $(e\neq -g)$ apparaît ici, si $e$ et $g$ sont opposés, l'équation n'est pas exploitable, sinon on donne $a$ en fonction de $b$, c'est-à-dire que l'imposition de l'un entraîne celle de l'autre: \[ a = \frac{f-h}{e^2-g^2}  - \frac{b}{e+g} \] Dans le premier membre de droite la première fraction est fixée puisque composée uniquement de données, et la seconde ne dépend que de l'inconnue $b$. Si l'on choisit $b$, la valeur de $a$ est imposée, puis en exploitant l'une des deux équations du système posé plus haut il vient aussitôt: \[ c = f-ae^2-be \] La valeur de $c$ devient imposée. Ce qui nous intéresse ici est de voir que toute valeur de $b$ entraînera l'existence d'un réel $a$ et d'un réel $c$ telle que la fonction $f$ vérifie le problème. Ce qui signifie qu'il existe une infinité de paraboles: \[ \left\{ \begin{aligned} b & \in \mathbb{R} \\ a & = \frac{f-h}{e^2-g^2}  - \frac{b}{e+g} \\ c & = f-ae^2-be \end{aligned} \right. \] On peut terminer le travail de recherche en donnant l'expression de $f(x)$ uniquement en fonction des quatre données $e,f,g,h$ et du paramètre $b$.

$e$ et $g$ sont opposés

Dans ce cas $a$ et $b$ ne sont plus liés indépendamment de $c$. Si nous soustrayons une équation à l'autre le résultat : \[ a(e^2-g^2)+b(e-g)=f-h \] n'est pas exploitable puisque: \[ e^2-g^2 = (e-g)(e+g) =0 \] ainsi le coefficient $a$ est accompagné d'un facteur nul, ce qui ne permet pas de lier $a$ à $b$. Mais plutôt additionnons les deux équations du système, puisque $(e+g=0)$ et $(e^2=g^2)$ on a: \[ 2ae^2+2c=f+h \] Le fait de fixer l'un des deux coefficients $a$ ou $c$ entraîne une valeur pour l'autre, sauf si $(e=0)$. En dehors de ce cas on se retrouve avec une expression de $f$ à un degré de liberté: fixer $c$ donne une valeur à $a$: \[ a=\frac{f+h}{2e^2}-\frac{c}{e^2} \] Et aussitôt une valeur à $b$: \[ b = \frac{f-c}{e}-ae \] Si chaque choix de $c$ n'entraîne que l'existence d'un unique couple $(a,b)$ répondant au problème, la possibilité de fixer librement $c$ permet de conclure qu'il existe une infinité de solutions au problème.

Conclusion

Nous avons procéder par disjonction des cas, étant donné le niveau un peu plus technique du découpage, il est bon de vérifier que nous n'avons rien laisser de côté: la question est de savoir combien de paraboles passent par trois points quand au moins deux sont confondus. Nous avons agit de la façon suivante:

1. Les trois sont confondus.
2. Deux sont confondus et le troisième distinct

• Les deux points distincts forment une droite verticale.
• Les deux points ne forment pas une droite verticale.
  • Les deux points n'ont pas d'abscisses opposées.
  • Les deux points ont une abscisse opposée.

Question 2

La question est posée de manière générale. La réponse n'est pas l'unicité dans deux cas très particuliers.

Alignement vertical

Si les points sont alignés à la verticale il ne peut y avoir de solutions. Même dans le cas de deux points comme précédemment, en effet l'équation: \[ y = ax^2+bx+c \] entraîne une unique ordonnée pour chaque abscisse. Deux points alignés à la verticale donnent deux ordonnées possibles pour la même abscisse. En effet soit $A(e\, ; f)$ et $B(e\, ;h)$ où $(f\neq h)$. $A$ et $B$ sont alignés à la verticale et d'ordonnées différentes, donc les deux points sont distincts, ils vérifient les conditions imposées. Seulement: \[ f=ae^2+be+c=h \]

Alignement horizontal

Nous avons vu dans le cours et dans la question 1 de l'exercice que par deux points alignés à l'horizontal il passe une infinité de paraboles. Reprenons $A$ et $B$ cités plus haut dans la question 1, le système devient: \[ \left\{ \begin{aligned} ae^2+be+c & =f  \\ ag^2+bg+c & = f \end{aligned} \right. \] ceci parce qu'ils ont même ordonnée $f$. Quant à $e$ et $g$ nous savons juste qu'ils sont distincts d'après l'hypothèse de la question 2. La différence entre les deux équations donne: \[ a(e^2-g^2)+b(e-g)=0 \] Or $e$ et $g$ sont différents, en divisant par $(e-g)$ on obtient: \[ a(e+g)+b=0 \] Un troisième point $C(i\, ;j)$ vérifie aussi: \[ ai^2+bi+c=f \] Une opération similaire à ce qui précède donne: \[ a(e+i)+b=0 \] Or $e,g,i$ sont différents. Là encore nous plongeons encore dans une distinction:

$a$ est nul

Supposons que $a$ soit accepté comme étant nul, c'est-à-dire que l'on se restreint aux paraboles de la forme d'une droite. Pour rappel, une parabole telle que définie dans le cours est de la forme $(ax^2+bx+c)$ avec trois coefficients quelconques. Nous avons vu qu'il peut s'agir d'une droite. Si $a$ est nul alors $b$ aussi. Il reste: $c=f$. Ainsi il existe une unique parabole répondant au problème: \[ f(x)=f \] Ne pas confondre le réel $f$ fixé et qui est l'ordonnée des trois points alignés et la fonction $f$.

$a$ n'est pas nul

Dans ce cas le problème devient impossible car: \[ -\frac{b}{a} = e+i=e+g \] or $e,g,i$ sont supposés distincts.

La conclusion sur l'alignement horizontal est la suivante: Si trois points sont alignés ainsi il n'y a que la fonction constante égale à leur ordonnée commune qui est solution du problème. Une autre méthode consiste à raisonner sur le nombre de racines du polynôme susceptible de répondre au problème et de généraliser par translation. Ce que nous proposons ci-après:

Alignement oblique

Le problème consistant à résoudre le nombre de points d'intersection entre une parabole et une droite est équivalent à la résolution d'une équation du second degré, ceci est expliqué dans les sections 1.3 et 1.4. Or nous avons vu que lorsque $a$ est non nul, il ne peut y avoir plus de deux solutions distinctes. Pour en avoir trois distinctes, il faut que $a$ soit nul. Ce qui revient à étudier l'intersection entre deux droites. Pour qu'elles aient trois points en commun il faut qu'elles soient confondues.

Soient $A,B,C$ trois points distincts alignés, il existe toujours une droite passant par ces points. Et elle vérifie le problème. Le paragraphe précédant a donné une condition nécessaire, celui-ci donne une condition suffisante. Le problème admet bien une unique solution, il est inutile de donner la moindre équation, il s'agit de la droite elle-même.

Question 3

Interprétons les données: $A$ est l'origine du repère, si la courbe passe par ce point alors $c$ est nul puisque: $f(0)=c$. Les branches sont dirigées vers le haut signifie déjà qu'il y a des branches, donc que $a$ est non nul, de plus leur orientation indique plus précisément: $(a>0)$. $B$ est le sommet donc le milieu des deux racines. En effet, la courbe passe par $A$ donc la fonction a au moins une racine, puisque celle-ci n'est pas le sommet alors il y en a une deuxième. Et $B$ en est le milieu. La forme de $f(x)$ est évidente, on retrouve un cas simple: \[ f(x)=x(ax+b) \] Le milieu des racines vaut donc $-b/(2a)$ et correspond à 2 par hypothèse. D'où: \[ b=-4a \] Les deux racines sont 0 et 4, le choix du coefficient $(a>0)$ reste libre en dehors de son signe: \[ f(x)=ax(x-4) \] On propose deux courbes, l'une ayant comme point $B_1$ en posant $(a=1/4)$ et l'autre $B_2$ avec $(a=1)$.

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Question 4

Traitons un cas encore plus général, soient trois points $A,B,C$ de coordonnées respectives $(e\, ; f)$ et $(g\, ; h)$ et $(i\, ; j)$ ne se trouvant pas dans l'un des cas cités plus haut. Ils se sont pas alignés à la verticale, ni par trois ni par deux, ni à l'horizontale pour les trois. Le système est le suivant: \[ \left\{ \begin{aligned} ae^2+be+c & =f  \\ ag^2+bg+c & = g \\ ai^2+bi+c & = j \end{aligned} \right. \] La différence entre la première et la seconde nous a donné: \[ (*)\;  b=\frac{f-h}{e-g} - a (e+g) \] L'intuition est qu'il n'existe qu'une seule parabole passant par les trois points, l'objectif est donc de résoudre le système en trouvant pour chaque coefficient $a,b$ et $c$ sa valeur en fonction des six données du problème: $e,f,g,h,i,j$. Nous avons déjà une équation mettant en relation $a$ et $b$. Une autre du même type permettrait d'isoler l'un de ces coefficients. Or la symétrie qui existe entre les trois équations du système nous montre qu'en formant la différence entre la seconde et la troisième alors on aura la même équation entre $a$ et $b$ avec un remplacement des symboles: $h$ prend le rôle de $f$, $j$ celui de $h$, $g$ celui de $e$ et $i$ de $g$: \[ (**)\; b= \frac{h-j}{g-i} - a (g+i) \] Faisons la différence des deux équations (*) et (**). On élimine ainsi $b$ et $a$ peut être exprimé après quelques manipulations: \[ a= \frac{1}{i-e} \left( \frac{h-j}{g-i}-\frac{f-h}{e-g} \right) \] Ce qui donne en remplaçant $a$ par cette expression dans l'équation (*) la valeur de $b$: \[ b= \frac{f-h}{e-g} -\frac{e+g}{i-e} \left( \frac{h-j}{g-i}-\frac{f-h}{e-g} \right) \] Et enfin il suffit de reprendre n'importe laquelle des trois équations du système pour extraire $c$, par exemple: \[ c=f-ae^2-be \] L'essentiel n'est pas de donner une formule, mais de prouver qu'il existe une fonction $f$ dont la courbe est une parabole qui passe par $A,B,C$. Et qu'elle est unique. Et c'est ce que nous avons obtenu, chacun des trois coefficients $a,b,c$ existe et s'exprime uniquement en fonction des données, de sorte que cela fixe leurs valeurs respectives.

Suite de l'exercice

La suite de l'exercice se trouve à l'adresse internet suivante:

http://tekmath.com/exercice/exercice1-12-bis

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Question 4 (suite)

La preuve proposée à la question 4 est plus générale, elle permet d'en conclure l'existence et l'unicité d'une parabole passant par $A,B,C$ lorsque ces trois points forment un triangle équilatéral avec un côté parallèle à l'axe des abscisses. Cette configuration interdit l'alignement vertical pour deux de ces points. Allons plus loin en précisant les coefficients puisque les données $e,f,g,h,i,j$ ont une contrainte supplémentaire: les trois abscisses sont telles que l'une est milieu des deux autres.

En effet, supposons que $(AB)$ soit horizontale. Alors la hauteur issue de $C$ est verticale, or elle correspond aussi à la médiane, ainsi le milieu de $[AB]$ possède la même abscisse que $C$. De plus l'ordonnée de $C$ est distant de l'ordonnée commune de $A$ et $B$ d'une distance égale à $ \sqrt{3}\ell/2 $ :

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Reste à choisir le cas où $C$ est au dessus ou en dessous. Pour ce qui est de l'équation, il y a deux types donc de paraboles, celles avec les branches dirigées vers le haut et celles vers le bas. Nous procédons en remarquant que tout triangle équilatéral de côté $\ell$ et avec un côté horizontal est l'image de celui formé par les trois points \[ A (0\, ; 0) \qquad B (\ell \, ; 0) \qquad  C \left( \frac{\ell}{2} \, ; \frac{\sqrt{3}\ell}{2} \right)\] par une translation dans le cas d'un triangle dont l'autre sommet pointe vers le haut. S'il pointe vers le bas on reprend $A$ et $B$ et on considère le symétrique de $C$ suivant l'axe des abscisses. Tous les triangles de la forme voulue sont issus de l'un ou l'autre de ces deux triangles dessinés ci-dessous:

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S'il passe une seule parabole par le triplet $A,B,C$ il en est de même de l'image du triangle par toute translation. Ce qui veut dire que montrer le résultat pour seulement les deux triangles particuliers suffit à montrer la propriété pour tout triangle de cette forme dans le plan. On pourrait exploiter les résultats obtenus dans le cas général vu auparavant et remplacer les données $e,f,g,h,i,j$ comme il faut pour obtenir le triplet $a,b,c$ recherché mais effectuons la démarche depuis le début sur l'exemple du triangle $A,B,C$ avec les coordonnées particulières. Le système à résoudre provenant des trois appartenances: \[ A \in \mathcal{P} \qquad B \in \mathcal{P} \qquad C \in \mathcal{P} \] donne pour $A $ : \[ c=0 \] Puis pour $B $ : \[ a\ell^2+b\ell+c=0 \] et pour $C $ : \[ a \frac{\ell^2}{4}+b\frac{\ell}{2}+c=\frac{\sqrt{3}}{2}\ell \] Sachant que $\ell$ est non nul et $c$ nul la seconde devient: \[ a\ell+b=0\] et la troisième: \[ a\ell+2b=2\sqrt{3} \]En soustrayant l'une à l'autre on trouve: \[ b=2\sqrt{3} \] On en déduit $a$ en remplaçant $b$ par sa valeur: \[ a = -\frac{2\sqrt{3}}{\ell} \] D'où le résultat pour le triangle pointant vers le haut: \[ f(x)=-\frac{2\sqrt{3}}{\ell} x(x-\ell) \]

Translation

Soit un triplet de points $DEF$ formant un triangle équilatéral de côté $\ell$ avec un côté horizontal et l'autre sommet pointant vers le haut. Alors il existe une translation $(\lambda\, ; \mu)$ tel que ce triangle $DEF$ soit l'image du triangle $ABC$ étudié précédemment. Il existe autant de paraboles passant par $ABC$ que par l'autre triangle $DEF$ car elles peuvent aussi être translatées. Puisque pour $ABC$ nous en avons trouver une seule, il en est de même pour $DEF$. Le chapitre 2 est consacré à ces transformations, on passe de la parabole $\mathcal{C}_f$ trouvée pour $ABC$ à celle liée à $DEF$ nommée $\mathcal{C}_g$ en posant: \[ g(x) = f(x-\lambda) +\mu \] Soit en reprenant l'expression de $f$: \[ g(x) = -\frac{2\sqrt{3}}{\ell} (x-\lambda)(x-\lambda-\ell) +\mu \] On trouve que le coefficient $a$ reste inchangée, il représente par son signe la direction de la parabole et par sa valeur absolue son "épaisseur" (l'écart entre les branches) et rien de cela n'a été modifié pendant la translation. Quant à $b$ il devient égal à: \[ \frac{2\sqrt{3}}{\ell} (2\lambda+\ell) \] et $c$: \[ c=-\frac{2\sqrt{3}\lambda}{\ell} (\lambda+\ell)+\mu \]

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Conclusion

Pour ce qui est du triangle pointant vers le bas, il suffit de reprendre la démarche avec comme fonction $\tilde{f}$ qui à $x$ associe l'opposé de $f(x)$: \[ \tilde{f}(x)=-f(x) \] Elle vaut donc: \[ f(x)=\frac{2\sqrt{3}}{\ell}x(x-\ell) \]

Question 5

Combinatoire

Cherchons le nombre de couples de points possibles. Il y a quatre points et on veut former des groupes de 2. Un résultat en combinatoire donne: \[ C^{2}_{4}=6 \] Sinon, pour retrouver ce résultat, il suffit de fabriquer les couples avec le point $A$: \[ (A,B) \quad (A,C) \quad (A,D) \] puis avec $B$ sachant que l'un d'entre eux est déjà mentionné: \[ (B,C) \quad (B,D) \] et enfin avec $C$ sachant que 2 ont été déjà formés: \[ (C,D) \] Inutile de chercher ceux avec $D$ ils sont tous cités. On en compte 6 au total. Puisque un couple contient nécessairement l'un d'entre eux on les a tous mis en évidence.

Nombre de cas

Le choix d'un couple impose le second, il n'y a donc que 3 paires de couples possibles: \[ \begin{array}{c} (A,B) \, (C,D) \\ (A,C) \, (B,D) \\ (A,D) \, (B,C) \end{array} \] Il reste à donner des exemples, en usant d'astuces on minimise les calculs. On note $f_1$ et $g_1$ les fonctions associées au cas $(A,B)$ et $(C,D)$. Puis $f_2$ et $g_2$ pour $(A,C)$ et $(B,D)$. Enfin $f_3$ et $g_3$ pour le dernier cas.

Cas 1

$A$ et $B$ sont associées aux racines de $f_1$ ce qui permet de générer un exemple: \[ f(x)=(x-1)(x-2) \] Quant à $g_1$ elle possède $C$ et $D$ qui peuvent être vus comme les images respectives de $A$ et $B$ par la translation de vecteur $(2\, ; 1)$. On peut alors prendre comme exemple une fonction dépendant de $f_1$ suivant cette translation: \[ g_1(x)=f_1(x-2)+1=(x-3)(x-4)+1 \] L'expression développée est alors la suivante: \[ \begin{aligned} f_1(x) & =x^2-3x+2 \\ g_1(x) & =x^2-7x+13 \end{aligned} \]

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Cas 2

On suppose que $\mathcal{P}$ passe par $A$ et $C$, et que $\mathcal{P}'$ passe par les deux autres points $B$ et $D$. Comme exemple de parabole pour $\mathcal{P}$ il vient que $A$ est racine et aucune autre n'est imposée. Prenons alors la fonction $(x \mapsto (x-1)^2)$. C'est une parabole qui a pour sommet $A$ mais ne passe pas par $C$. Pour régler cela, nous conservons un coefficient $a$: \[ f_2(x) = a(x-1)^2 \] Puis on écrit l'appartenance de $C$ à cette parabole: \[ 1=a(3-1)^2 \] D'où: $a=1/4$. On remarque un lien entre le couple de points $(A,C)$ et $(B,D)$. Ce deuxième est l'image du premier par la translation de vecteur horizontal $(1\, ; 0)$. On peut utiliser $f_2$ pour construire $g_2$: \[ g_2(x)=f_2(x-1) \] La parabole associée à $g$ répond au problème. Les expressions développées sont les suivantes: \[ \begin{aligned} f_2(x) & =\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4} \\ g_2(x) & =\frac{1}{4}x^2-x+1 \end{aligned} \]

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Cas 3

Il se traite comme le précédent sauf qu'il n'y a pas de translation pour s'économiser un calcul. Pour la couple $(A,D)$ on cherche une parabole de sommet $A$ passant par $D$. Son expression générale est: \[ f_3(x)=a(x-1)^2 \] L'appartenance de $D$ à la courbe entraîne: \[ 1=a(4-1)^2 \] c'est-à-dire: $a=1/9$. Le même raisonnement conduit à \[ g_3(x)=a(x-2)^2 \] puisqu'ici c'est $B$ qui donne la racine double 2. Puis l'appartenance de $C$ permet de déduire le coefficient: $a=1$. D'où: \[ \begin{aligned} f_3(x) & =\frac{1}{9}x^2-\frac{2}{9}x+\frac{1}{9} \\ g_3(x) & =x^2-4x+4 \end{aligned} \]

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Solution

Question 1- Lien pour un polynôme de degré 4

Nous disposons d'une expression faisant intervenir les cinq coefficients $a_i$: \[ f(x) = a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \] La relation est vraie pour tout $x \in \mathbb{R}$. Nous savons que deux polynômes égaux le sont coefficient par coefficient. C'est-à-dire que si l'on dispose d'un polynôme: \[ g(x) = b_4 x^4 + b_3 x^3 + b_2 x^2 + b_1 x + b_0 \] et que par une méthode nous ayons trouver l'égalité: \[ \forall x \in \mathbb{R} \qquad f(x)=g(x) \] alors on aura l'égalité pour les coefficients de même degré: \[ \forall i \in \{1,2,3,4\} \quad a_i=b_i \] Cela peut sembler intuitif mais n'est pas forcément immédiat à montrer. La stratégie qui se sert de ce résultat consiste à écrire $f(x)$ avec les racines si cela est possible. Puis en comparant les deux expressions on tisse un lien entre racines et coefficients.

Divisibilité

Un résultat fondamental sur les polynômes est le suivant: Si $\rho$ est une racine de $f$ alors le polynôme $(x-\rho)$ divise $f(x)$. A la manière des nombres cela revient à écrire le résultat suggéré en indication à la question 1. En voici la preuve:

Si $\rho$ est une racine de $f$ alors: \[ f(x)= a_4 \rho^4 + a_3 \rho^3 + a_2 \rho^2 + a_1 \rho + a_0 \] On écrit alors sous sa forme développée la différence: $f(x)-f(\rho)$ en rassemblant les termes suivant leur coefficient $a_i$ les accompagnant: \[ \begin{aligned} \; & a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \\ & - a_4 \rho^4 - a_3 \rho^3 - a_2 \rho^2 - a_1 \rho - a_0 \\ & = a_4 (x^4-\rho^4) + a_3 (x^3-\rho^3) + a_2 (x^2-\rho^2) + a_1 (x-\rho) \end{aligned} \] Les quatre facteurs de la forme $(x^i-\rho^i)$ sont divisibles par $(x-\rho)$. En effet, pour le degré $(i=1)$ c'est immédiat, pour $(i=2)$ il suffit d'appliquer l'identité remarquable: \[ x^2-\rho^2=(x-\rho)(x+\rho) \] De même pour le degré 4 qui n'est qu'un second degré (voir $x^4$ comme le carré de $x^2$): \[ x^4-\rho^4=(x^2-\rho^2)(x^2+\rho^2) \] Pour le troisième degré, la formule est aussi une identité remarquable, moins connue mais indispensable et simple à retrouver: \[ x^3-\rho^3=(x-\rho)(x^2+x\rho+\rho^2) \] on dispose d'une formule générale, pour tout degré $n$: \[ a^n-b^n =(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\ldots+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}) \] L'exemple présenté considère $n$ assez grand, cela pour montrer les modifications dans les degrés. Le membre de droite est un produit dont le second facteur est une somme. Chaque terme est de la forme $(a^pb^q)$ où les entiers $p$ et $q$ ont pour somme $(n-1)$. De plus on les a rangé de façon à voir que toutes les possibilités sont présentes. En partant de $(p=n-1)$ et $(q=0)$ on retire une unité à $p$ pour la donner à $q$ et ce jusqu'à ce que l'un soit nul et l'autre égal à $(n-1)$. Ceci est la manière de le retenir, pour le prouver il suffit de développer le produit \[ (a-b)(a^{n-1}+\ldots+b^{n-1} \] en distribuant suivant $a$ et suivant $b$, on verra que tous les termes se téléscopent sauf deux nombres, le premier obtenu dans l'opération et le dernier: \[ a\times a^{n-1} + \ldots + b \times b^{n-1} \] Le mieux pour s'en convaincre et s'initier à cette famille d'identité remarquable est d'appliquer la formule à des exemples.

Factorisation

On vient de montrer que si $\rho_1$ est une racine de $f(x)$ alors ce polynôme s'écrit: \[ f(x)=(x-\rho_1) g(x) \] où $g(x)$ est un polynôme. On peut appliquer cette relation à tout réel, en particulier à $\rho_2$: \[ f(\rho_2)=(\rho_2-\rho_1) g(\rho_2) \] On sait que $f(\rho_2)$ est nul par hypothèse et comme les racines sont distinctes on apprend que $\rho_2$ est aussi racine de $g$. On applique à $g(x)$ le résultat trouvé pour $f(x)$: il est divisible par $(x-\rho_2)$. Puis de même avec les deux autres racines. Au final: \[ f(x)=(x-\rho_1)(x-\rho_2)(x-\rho_3)(x-\rho_4)\times h(x) \] La fonction $h$ est un polynôme, or le degré de $f$ est 4 et de même pour le produit des $(x-\rho_i)$ donc $h$ est constante. En développant pour trouver le terme de degré 4 à droite, il vient que: \[ a_4 x^4 = x^4 \times h(x) \] On en déduit que $h$ est la fonction constante égale à $a_4$. D'où la formule: \[ f(x) = a_4(x-\rho_1)(x-\rho_2)(x-\rho_3)(x-\rho_4) \]

Dévelopement et identification

Reste à développer la formule trouvée. Plutôt que de mener un calcul laborieux, observons que le résultat final sera: \[ f(x) = [\ldots] x^4+[\ldots] x^3+[\ldots] x^2+[\ldots] x+[\ldots] \] Il y a cinq coefficients à trouver. Commençons par une petite simplification et calculons $f(x)/a_4$ pour éviter de garder $a_4$ dans les calculs. Reste quatre facteurs, de la même forme, soit une différence entre la variable $x$ et une racine de $f$:

• Pour obtenir les termes de degré 4 il faut multiplier les quatre occurences de la variable $x$. Le coefficient de degré 4 vaut 1.
• Pour le degré 3, on doit multiplier trois occurences de la variable et prendre la racine dans le facteur encore non exploité. Il y a quatre façons de faire: \[ \begin{array}{cccc}  -\rho_1 &\, x &\, x &\, x \\  x &\, -\rho_2 &\, x &\, x \\  x &\, x &\, -\rho_3 &\, x \\ x &\, x &\, x &\, -\rho_4 \end{array} \] Le coefficient de degré 3 vaut: $-(\rho_1+\rho_2+\rho_3+\rho_4) $
• Pour le degré 2, on choisit deux occurrences de la variable que l'on complète par deux racines. Il y a autant de termes possibles que de choix de couples à former parmi les quatre racines. Soit 6 termes formant la somme: \[ \rho_1\rho_2+\rho_1\rho_3+\rho_1\rho_4+\rho_2\rho_3+\rho_2\rho_4+\rho_3\rho_4 \]
• Pour le degré 1, on ne prend qu'une occurrence de la variable, reste à choisir 3 racines. On commence par négliger la dernière, puis la troisième, puis la seconde et enfin la première. Il y a quatre combinaisons à former. Le coefficient de degré 1 vaut: \[ -(\rho_1\rho_2\rho_3+\rho_1\rho_2\rho_4+\rho_1\rho_3\rho_4+\rho_2\rho_3\rho_4) \]
• La constante de déduit en ne prenant que les racines: \[ \rho_1\rho_2\rho_3\rho_4 \]

Chacun des coefficients ci-dessus correspond à $a_i/a_4$ pour le degré $i$ associé. Il n'y a donc pas de lien direct entre $a_4$ et les racines, sinon $a_3/a_4$ correspond à l'opposé de la somme de toutes les racines. Le rapport $a_2/a_4$ vaut la somme de tous les doubles produits que l'on peut former avec les racines. Puis le rapport $a_1/a_4$ est l'opposé de la somme de tous les triples produits. Et enfin $a_0/a_4$ est le produit de toutes les racines.

Question 2 - Cas particuliers

Il suffit d'écrire toutes les racines en leur donnant le même nom $\rho$. On obtient: \[ \left\{ \begin{array}{rcr} a_3 & = &-4 \rho a_4 \\ a_2 & = & 6\rho^2 a_4 \\ a_1 & = & -4 \rho^3 a_4 \\ a_0 & = & \rho^4 \end{array} \right. \] Nous exploitons le calcul précédent, sinon on reconnaît la forme d'un binôme: \[ f(x)=a_4(x-\rho)^4 \] et on applique la formule en utilisant les coefficients binomiaux.

Si $(\rho_1\rho_3=\rho_2\rho_4)$ alors il existe une symétrie entre les coefficients: \[ a_0= (\rho_1\rho_3)^2 a_4 \] De même: \[ a_1/a_4= -\rho_1\rho_2\rho_3-\rho_1^2\rho_3-\rho_1\rho_3\rho_4-\rho_1\rho_3^2\] On trouve: \[ a_1=\rho_1\rho_3 a_3 \] Il n'y a pas de résultat particulier pour $a_2$, on peut au mieux écrire: \[ a_2/a_4 = 2\rho_1\rho_3+(\rho_1+\rho_3)(\rho_2+\rho_4) \]

Question 3 - Les 4 racines sont des entiers consécutifs

On suppose que $\rho_1=\rho$. Puis que: \[ \rho_4=\rho_3+1=\rho_2+2=\rho_1+3 \] On n'a rien de particulier à affirmer sur $a_4$. Pour $a_3$ on trouve: \[ a_3/a_4=-(\rho+\rho+1+\rho+2+\rho+3)=-2(2\rho+3) \] Puis: \[ \begin{aligned} a_2/a_4 & = \rho(\rho+1) + \rho(\rho+2) + \rho(\rho+3) \\ & + (\rho+1)(\rho+2) + (\rho+1)(\rho+3) \\ & + (\rho+2)(\rho+3) \end{aligned} \] En développant on trouve: \[ a_2/a_4 = 6 \rho^2+18\rho+11 \] Puis pour les calculs suivants il est utile d'exploiter ceux déjà effectués: \[ \begin{aligned} -a_1/a_4 = & \rho(\rho+1)(\rho+2) \\ & + \rho(\rho+1)(\rho+3) \\ & + \rho(\rho+2)(\rho+3) \\ & + (\rho+1)(\rho+2)(\rho+3) \end{aligned} \] On trouve: \[ -a_1/a_4= 4\rho^3+18\rho^2+22\rho+6 \] Quant au dernier: \[ a_0/a_4= \rho(\rho+1)(\rho+2)(\rho+3)=\rho^4+6\rho^3+11\rho^2+6\rho \]

Question 4 - Signe des coefficients

Le fait que $a_4$ soit égal à 1 n'a pas d'importance, seul son signe s'avère intéressant pour la question. Puisque: \[ a_4>0 \qquad \forall i \quad \rho_i>0 \] on a le résultat immédiat: \[ a_0 > 0 \quad a_1 < 0 \quad a_2 > 0 \quad a_3 < 0 \]

Question 5 - Polynôme du degré 5

Le raisonnement par combinatoire s'avère encore plus efficace ici pour éviter de longs calculs. On veut développer: \[ f(x)/a_5 = (x-\rho_1)(x-\rho_2)(x-\rho_3)(x-\rho_4)(x-\rho_5) \] Le seul terme de degré 5 sera donné par la combinaison: \[ x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \] Puis le degré 4 sera composé de 4 occurences de $x$ et d'une racine, il y a 5 combinaisons, au final cela donne l'opposé de la somme des racines multipliant $x^4$: \[ -\rho_1-\ldots-rho_5 \] Puis les doubles produits accompagnent $x^3$: \[ \rho_1\rho_2+\ldots+\rho_4\rho_5 \] Il y en a $\binom{5}{2}$ pour utiliser les coefficients binomiaux, soit le nombre de couples dans un ensemble à 5 éléments: 10. Puis l'opposé des triples produits pour le degré 2, et il y en a autant que de triplets possibles dans un ensemble à 5 éléments, or chaque fois que l'on constitue un triplet, ce qui reste est un couple. Il y a autant de couples différents que de triplets, d'où les 10 possibilités là aussi: \[ -\rho_1\rho_2\rho_3-\ldots-\rho_3\rho_4\rho_5 \] Le degré 1 est constitué des quadruples produits, il y en a autant que de singletons dans un ensemble à 5 éléments, là encore c'est une symétrie dans ce calcul venant de la complémentarité des groupes de 4 éléments avec ceux à 1 élément. Soit 5 possibilités, une pour chaque racine négligée: \[ \rho_1\rho_2\rho_3\rho_4+\ldots+\rho_2\rho_3\rho_4\rho_5 \] Enfin le terme constant égal au produit des cinq nombres $(-\rho_i)$ d'où le résultat: \[ -\rho_1\rho_2\rho_3\rho_4\rho_5 \]

Solution

Question 1 - Valeurs aux entiers et allure de la courbe

Tableau de valeurs

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline \\ \sqrt{x} & 0 & 1 & 1.4 & 1.7 & 2 & 2.2 & 2.4 & 2.6 & 2.8 \\ \hline \end{array} \]

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ x & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16  \\ \hline \\ \sqrt{x} & 3 & 3.2 & 3.3 & 3.5 & 3.6 & 3.7 & 3.9 & 4 \\ \hline \end{array} \]

Nous nous arrêtons à une précision au dixième, bien que le graphique soit tracé avec une meilleure précision. Pour une meilleure présentation nous doublons la taille des ordonnées par rapport aux abscisses.

Graphique représentant la fonction

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Question 2 - Etude sur l'intervalle $[0\, ; 1]$

On calcule ici onze valeurs de 0 à 1 avec un pas d'un dixième. La précision demandée est d'un centième: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline \\ \sqrt{\frac{k}{10}} & 0 & 0.32 & 0.45 & 0.55 & 0.63 & 0.71 & 0.77 & 0.84 & 0.89 & 0.95 & 1 \\ \hline \end{array} \]

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Solution

De toute évidence pour que l'équation ait un sens, il faut déjà que $b$ et $F(b)$ soient non nuls. A partir de cette hypothèse supplémentaire, voyons si elle est suffisante pour permettre d'en déduire l'équation à partir de la propriété 2.1 selon laquelle: \[ \forall a,b \geq 0 \qquad F(ab)=F(a)F(b) \] Rappelons que la propriété implique que la fonction $F$ soit définie sur les réels positifs, rien n'indique qu'elle existe ou non sur les négatifs. Tout d'abord pour tout réel strictement positif $x$ on a en appliquant la propriété à $x$ et son inverse on a: \[ F \left( \frac{1}{x} \times x \right) = \left\{ \begin{array}{l} F(1) \\ F \left( \frac{1}{x} \right) F(x) \end{array} \right. \] Ce qui lie l'image d'un nombre à celle de son inverse: \[ F\left( \frac{1}{x} \right)=\frac{F(1)}{F(x)} \] Si l'on applique la propriété 2.1 ainsi que cette relation à deux nombres $a,b$ sachant que $(a\geq 0)$ et $(b>0)$ alors: \[ F\left( \frac{a}{b} \right) =\frac{F(a)}{F(b)} \, F(1) \] Ce n'est pas la relation recherchée, en fait si mais il s'agit de montrer que $F(1)=1$. Appliquons la propriété 2.1 avec $(a=b=1)$: \[ F(1\times 1)=F(1)\times F(1) \] Ainsi $F(1)$ est égal à son carré et seuls deux nombres vérifient une telle propriété: 0 et 1. Supposons que cela soit 0. Dans ce cas, pour tout nombre $x$, ou bien son image par $F$ est nulle, ou bien c'est celle de son inverse à cause du lien: \[ F\left( \frac{1}{x} \right) F(x) = F(1) \] Rappelons l'hypothèse: Pour tout réel strictement positif $x$ son image par $F$ est non nulle. Ce qui implique que c'est $\displaystyle F\left( \frac{1}{x} \right) $ qui est nul. Mais le nombre $(1/x)$ est aussi strictement positif. Donc l'hypothèse émise doit s'appliquer aussi. Ainsi $F(1)$ ne peut valoir 0 mais 1.

Relation généralisée

Soient $a,b,c$ trois nombres positifs. On applique la propriété 2.1 à $(ab)$ et $c$ qui sont positifs: \[ F(abc)=F\left( (ab) c \right) =F(ab)F(c) \] Puis on applique à nouveau la propriété à $a$ et $b$. De même ce raisonnement vaut pour autant de nombres $a_1\, \ldots \, a_n$ quelque soit la valeur de l'entier $n$.

Solution

Question 1 - Construction à la règle et au compas

On reprend le dessin proposé dans le cours. Il s'agit de reprendre l'algorithme de construction en remplaçant l'exemple $A(4\, ; 0)$ par le cas général où $A$ est d'abscisse $(a>0)$.

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Mettre en équation l'inconnue

C'est la longueur $AM$ qui est recherchée sachant que $OA$ vaut $a$ et $AB$ vaut 1. De plus $O,A,B$ sont alignés et $M$ est situé sur le cercle et la perpendiculaire à $(OB)$. Ces propriétés forment les données du problème. Nous commençons par l'orthogonalité entre $(AM)$ et $(AB)$. Le théorème de Pythagore s'applique au triangle rectangle $AMB$: \[ AM^2=MB^2-AB^2 \] Quant à $AB$ nous le connaissons, il nous manque $MB$.

Exploiter les hypothèses

Le point $M$ a la particularité d'être situé sur le cercle de diamètre $OB$. Ceci entraîne une propriété sur le triangle $OMB$: il est rectangle en $M$. Le théorème de Pythagore permet d'écrire: \[ OM^2+MB^2=OB^2 \] Nous connaissons $OB$ il reste à déterminer $OM$. Or un troisième triangle rectangle n'a pas été exploité: $OAM$. On a: \[ OM^2=AM^2+OA^2 \] $AM$ est la valeur recherchée, ce qui ne nous gêne pas de la voir apparaître. Et $OA$ est connue. Ainsi le problème peut être résolu: \[ \begin{aligned} AM^2 & = MB^2-AB^2 \\ & = ( OB^2-OM^2 ) - AB^2 \\ & = ( OB^2 - ( AM^2+OA^2) - AB^2 \end{aligned} \] D'où la relation finale entre l'inconnue et les données: \[ 2 \, AM^2 = OB^2 - AB^2-OA^2 \] Avec les valeurs proposées on a en notant $y$ l'ordonnée de $M$: \[ 2y^2=2a \] D'où: $y=\sqrt{a}$.

Question 2 - Moyenne géométrique

L'intérêt de présenter le résultat final en séparant l'inconnue et les données (sans appliquer les valeurs jusqu'à la fin) apparaît sur cette question. Il suffit de remplacer 1 par b. On passe de l'équation générale précédente :  \[ 2 \, AM^2 = OB^2 - AB^2-OA^2 \] au résultat suivant en appliquant les valeurs aux longueurs : \[ 2y^2 = (a+b)^2-a^2-b^2 \] D'où: \[ y=\sqrt{ab} \] L'ordonnée de $M$ est la racine carrée du produit $OA \times AB$, soit la moyenne géométrique.

Solution

Placer les points

Si l'on dispose de la longueur $a$ et des courbes des fonctions carrée et racine, il suffit d'associer à l'abscisse $a$ son ordonnée par la fonction racine pour trouver $A$ et associer à l'ordonnée $a$ son abscisse par la foncion carrée pour trouver $B$. On note $\Delta$ la droite d'équation $(y=x)$

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Coordonnées du milieu

La formule de calcul du milieu de deux points $A$ et $B$ est la suivante: \[ M \left( \frac{x_A+x_B}{2} \, ; \frac{y_A+y_B}{2} \right) \] On les retrouve en appliquant le théorème des milieux au triangle de sommets $A$ et $B$ ainsi que l'intersection entre les parallèles aux axes passant par $A$ et $B$. Cette construction donne deux triangles, chacun permet d'aboutir à la conclusion que chaque coordonnée de $M$ est le milieu de celles de $A$ et $B$.

La droite $\mathcal{D}$ tracée ci-dessous intercepte le triangle en $M$ tout en étant parallèle à l'un des côtés. Elle coupe donc l'autre côté par son milieu, ce dernier côté est vertical, les mêmes proportions sont respectées sur l'axe des ordonnées. Donc $y_M$ est le milieu de $y_A$ et $y_B$. Le même raisonnement s'applique à $\mathcal{D}'$ pour déduire l'abscisse $x_M$.

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Le résultat est donc le suivant: \[ x_M = \frac {x_A+x_B}{2} = \frac{\sqrt{a}+a}{2} \] On se rend compte du même résultat pour $y_M$. Ce qui signifie que $M$ appartient à la droite $\Delta$.

Parallélisme

Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont même coefficient directeur. Celui de la droite $(y=-x)$ vaut -1. Quant à celui de $(AB)$ on calcule la pente à partir de ses deux points déjà connus $A$ et $B$: \[ \frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}=\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-a}=-1 \] Le même résultat montre le parallélisme.

Orthogonalité

Deux droites de coefficients directeurs non nuls $m$ et $m'$ sont orthogonales si et seulement si les coefficients vérifient: \[ m \times m' = -1 \] Nous en apportons la preuve dans la section 3 du chapitre 8 (Vecteur normal). Le coefficient de $(AB)$ vaut -1 et celui de $\Delta$ vaut 1, ce qui donne le résultat.

Cas $(0<a<1)$

Les coordonnées de $M$, le parallélisme et l'orthogonalité vus précédemments restent vraies si $a$ est compris entre 0 et 1. En effet la seule contrainte est $(a>0)$ car nous travaillons sur la racine carrée du nombre $a$. De plus pour diviser par $a-\sqrt{a}$ il nous a fallu tenir compte de l'hypothèse $(a\neq 1)$ et nous avions plus précis: $(a>1)$. A présent, il est connu que tous les résultats démontrés le sont pour $a \in \mathbb{R}^+ \setminus \{0\, ; 1\} $.

Calcul de la longueur $AB$

La longueur $AB$ est donnée par la formule: \[ AB = \sqrt { \left( y_B-y_A \right) ^2 + \left( x_B-x_A \right) ^2 } \] qu'on peut prouver avec le théorème de Pythagore. Le résultat est le suivant: \[ AB= \begin{cases} \sqrt{2a} (\sqrt{a}-1) & \text{si} \, a>1 \\ \sqrt{2a} (1-\sqrt{a}) & \text{si} \, 1>a>0 \end{cases} \] Ce qu'on résume avec la valeur absolue par: \[ AB= \sqrt{2a} \left| \sqrt{a} -1 \right| \]

Solution

Question 1 - Distance entre deux nombres inférieure à un réel donné.

Résoudre une inéquation de la forme $f(x)\leq g(x)$ c'est chercher l'ensemble des abscisses $x$ sur $\mathbb{R}$ dont l'image par $f$ est plus petite que celle par $g$. C'est-à-dire chercher les parties de la courbe liée à $f$ qui sont sous celle de $g$. La fonction $f$ définie par $fx)=\left| x-a\right| $ est  la valeur absolue décalée par une translation horizontale de vecteur $(a\, ; 0)$. Dit autrement, il suffit de tracer la fonction valeur absolue en prenant comme origine le point $(a\, ;0)$. La fonction $g:x\mapsto \delta$ est constante, sa courbe est une droite horizontale. La résolution du problème : \[ |x-a| \leq \delta \] consiste à trouver l'ensemble des points de la courbe $\mathcal{C}_f$ situés sous la "barre" $\delta$. Comme nous l'avons vu dans le cours, on peut aussi interpréter cela de manière géométrique. L'inéquation est vérifiée par l'ensemble des $x$ éloignés de $a$ d'une distance inférieure ou égale à $\delta$. L'ensemble solution $S_1$ est donc le segment centré en $a$ et de longueur $2\delta$ puisque la distance entre $a$ et chaque extrémité vaut $\delta$ . \[ S_1 = [ a-\delta\, ; a+\delta] \] Le fait que $\delta$ soit strictement positif montre que le segment est non vide et même non réduit au singleton $a$. Ce résultat est valable pour tout $a$ réel.

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Question 2 - Distance entre deux nombres inférieure à un réel donné.

Soit $S_2$ l'ensemble des solutions de l'inéquation : $f(x)>g(x)$. Les deux inéquations dont les solutions sont $S_1$ et $S_2$ forment une disjonction des cas. Tout réel $x$ vérifie ou bien la première ou bien la deuxième. Non seulement il en vérifie une, mais en plus il ne peut en vérifier qu'une. On en conclut : \[ S_1 \cup S_2 = \mathbb{R} \] d'après le fait que tout réel $x$ vérifie au moins l'une des deux. Et : \[ S_1 \cap S_2 = \emptyset \] du fait qu'aucun réel ne peut vérifier les deux. D'où le résultat : \[ S_2= ] -\infty\, ; a-\delta [ \; \cup \; ] a+\delta\, ; +\infty [ \] Résoudre $f(x)\geq g(x)$ consiste à réunir les solutions des deux problèmes : \[ f(x) > g(x) \qquad f(x)=g(x) \] Quant à la première inéquation, les solutions sont les éléments de $S_2$. Il reste à déterminer les réels vérifiant l'égalité: \[ |x-a| = \delta \] Les deux réels situés à une distance $\delta$ du nombre $a$ sont $(a-\delta)$ et $(a+\delta)$. On remarquera qu'il s'agit bien de la frontière entre $S_1$ et $S_2$. D'où l'ensemble $S_3$ cherché : \[ S_3 = ]-\infty\, ; a-\delta] \, \cup \, [a+\delta\, ; +\infty [ \]

Question 3 - Système d'inéquations avec valeur absolue.

On applique les résultats trouvés pour $(a=5\, ; \delta=2)$ en prenant $S_1$ et $(a=1\, ; \delta=3)$ en prenant $S_3$. Un système impose l'intersection entre les ensembles solutions de chaque inégalité. D'où l'ensemble : \[ ]3\, ; 7[ \quad \cap \quad ]-\infty\, ; -2] \, \cup \, [ 4\, ; +\infty [ \] Ce qui donne: $[4\, ; 7[$. Il s'agit de l'ensemble des réels situés à une distance inférieure stricte à 2 du nombre 5 et supérieure à 3 du nombre 1. L'entier 4 est compris et 7 est exclu. L'idéal dans la résolution est de vérifier géométriquement en superposant deux droites graduées pour chaque inégalité.

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Question 4 - Système de valeurs absolues avec 4 paramètres.

L'ensemble solution de l'inégalité : \[ |x-a| < \delta \] est d'après la question 1 : \[ S_1 = ] a-\delta\, ; a+\delta [ \] Puis l'ensemble $S_2$ solution de l'autre inégalité est : \[ S_2 = ] -\infty\, ; b-\lambda [ \; \cup \; ] b+\lambda\, ; +\infty [ \] L'hypothèse $(\delta>0)$ permet d'affirmer que quelle que soit la valeur de $a$ l'ensemble $S_1$ est non vide. L'hypothèse $(\lambda>0)$ n'a aucun intérêt particulier si ce n'est de situer $\lambda$ plus précisément. Mais cela ne change rien à la nature des ensembles $S_2$ possibles. Nous pourrions conclure que l'ensemble solution $S$ du système est l'intersection entre $S_1$ et $S_2$ mais soyons plus précis sur les diverses configurations.

Etude détaillée

Pour construire $S_1$ nous prenons les points autour de $a$ d'une distance plus petite que $\delta$. Pour $S_2$ il s'agit au contraire de considérer ceux qui sont suffisamment éloignés de $b$ d'une distance $\lambda$. Il y a quatre paramètres dans ce problème: $a,b,\delta,\lambda$. Pour simplifier, supposons que $b$ soit fixé n'importe où, ce qui n'enlève rien à la généralité du problème. Nous faisons se déplacer $a$ sur toute la droite réelle pour conserver l'aspect général. Cette manière de procéder, nous l'appliquons car après observation du dessin ci-dessous, il apparaît que l'ensemble $S_2$ lié à $b$ possède deux branches de longueurs infinies, alors que pour toute valeur de $\delta$ l'ensemble $S_1$ sera borné, c'est-à-dire de longueur finie.

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$a$ est loin de $b$

Lorsque $a$ est suffisamment loin de $b$ au point que la longueur $\delta+\lambda$ ne suffit pas à les joindre alors tout l'ensemble $S_1$ est inclus dans $S_2$. Et puisque nous en prenons l'intersection, le résultat est : \[ S=S_1 \] Ceci se produit lorsque la distance $|b-a|$ est supérieure stricte à $\delta+\lambda$. Mieux, les deux ensembles $S_1$ et $S_2$ sont ouverts. Si la distance $|b-a|$ vaut exactement $\delta+\lambda$ alors le résultat reste inchangé. D'où : \[ |b-a| \leq \delta+\lambda \iff S=S_1 \] Il existe une configuration où $a$ est à gauche de $b$ que nous exposons ci-dessous, et une autre où $a$ est à droite de $b$. On remarquera qu'il importe peu de comparer ici $\delta$ et $\lambda$. Ce qui diffère de la situation suivante.

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$a$ est proche de $b$

Il reste à traiter le cas manquant, lorsque $a$ et $b$ sont plus proches l'un de l'autre que la somme $\delta+\lambda$. Tout d'abord en faisant venir $a$ de la gauche de $b$ jusqu'à ce que $S_1$ comporte des éléments qui ne sont pas dans $S_2$ il existe une configuration où cela se fait sans que $S_1$ ne touche la partie droite de $S_2$. Et ceci est valable quelque soit les valeurs de $\delta$ et $\lambda$. Le dessin ci-dessous illustre la situation avec $a$ à l'intérieur du segment exclu par $S_2$, c'est-à-dire lorsque $\delta$ est strictement plus petit que $\lambda$, ce qui n'est nécessaire, $\delta$ peut être plus grand, la situation reste envisageable. On a : \[ S = ] b-\lambda\, ; a+\lambda [ \]

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Si $(\delta<\lambda)$ alors on peut envisager la possibilité de voir $S_1$ complètement inclus dans le segment $]b-\lambda\, ; b+\lambda[$. Dans ce cas il n'y a pas de solution: $S=\emptyset$ .

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Mais si $(\delta>\lambda)$ alors il y a la possibilité de voir $S_1$ atteindre les deux parties de $S_2$. On aura : \[ S= ] a-\delta\, ; b-\lambda [ \; \cup \; ]b-\lambda \, ; a+\delta [ \]

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Enfin dans tous les cas, $S_1$ finit par n'avoir d'intersection qu'avec la partie droite de $S_2$ sans être entièrement inclus : \[ S = ] b+\lambda\, ; a+\lambda [ \]

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Toutes les situations ont été abordées, il y en a deux principalement. La première fut traité simplement, quant à la deuxième elle contient quatre sous catégories: deux cas qui peuvent se produire quelles que soient les valeurs de $\delta$ et $\lambda$ et deux autres cas suivant que $(\delta>\lambda)$ ou $(\delta<\lambda)$. L'égalité n'apporte rien de nouveau.

Question 5 - L'inconnue est plus proche d'un entier que d'un autre.

Cette fois-ci les deux membres de l'inégalité sont variables et constituent des distances. Fixons $n$ et $m$ en restant dans le cadre général, sans imposer de contrainte dessus. Mieux, l'hypothèse qu'ils sont entiers n'a pas d'importance. Plaçons les sur la droite graduée, il y a trois régions qui se forme, en supposant que $(n<m)$ la région à gauche de $n$ comprend uniquement des réels dont la distance à $n$ est plus petite strictement que celle à $m$. Celle à droite de $m$ ne vérifie pas l'inégalité. Quant au segment $[n\, ; m]$ il y a en lui deux sous parties. En notant $i$ leur milieu, il apparaît que sur $[n\, ; i[$ nous vérifions l'inégalité mais pour pour $[i\, ; m]$. D'où l'ensemble solution : \[ n<m \Rightarrow S_1 = ] -\infty \, ; i [ \] où : $i=\displaystyle \frac{n+m}{2} $ . Si $(n>m)$ alors les rôles entre $n$ et $m$ sont inversés, on prend le complémentaire de $S_1$ en prenant garde de retirer $i$ car l'inégalité est stricte : \[ S_2 = ]i\, ; +\infty[ \] Enfin si $(n=m)$ alors il n'y a pas de solution car cela revient à résoudre une inégalité de la forme $X<X$. Nous avons raisonner en utilisant notre intuition, ce qui n'est pas complètement rigoureux, bien que le discours soit clair. Voici la formalisation pour le cas $(n<m)$ :

1. Si $(x<n,m)$ alors $(n-x<m-x)$ et chacun est positif, donc cela revient à écrire: $|n-x|<|m-x|$ ce qui est équivalent à l'inégalité de la question. Ainsi, tout réel $x$ plus petit strictement que $n$ et $m$ la vérifie.
2. Si $(x>n,m)$ alors $|x-n|<|x-m|$ revient à écrire $(x-n<x-m)$ c'est-à-dire $(m<n)$ ce qui contredit l'hypothèse $(n<m)$. Il n'y a pas de réel vérifiant l'inégalité se situant à la fois au dessus de $n$ et $m$.
3. Si $(n<x<m)$ alors l'inégalité s'écrit: $(x-n<m-x)$ . Ce qui est équivalent à : \[ x<\frac{n+m}{2}=i \] D'où l'introduction de $i$ et le partage du segment $[n\, ;m]$ .

On donne l'exemple de $S_1$ :

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Solution

Question 1 - Une suite définie avec une parabole

La suite $u$ n'est rien d'autre qu'une fonction, en particulier c'est la restriction de $f$ à $\mathbb{N}$, c'est-à-dire la fonction $f$ elle-même bien qu'on lui ait donné un autre nom, ceci parce qu'une fonction est aussi définie par un domaine. Le tracé de $\mathcal{C}_f$ contient le graphe de $u$. Ce graphe étant l'ensemble des points du plan repérés par un couple $(n\, ; u_n)$. Il s'agit donc dans un premier temps de tracer la courbe liée à $f$. Or l'équation $f(x)=0$ a pour racines -1 et 2, la forme canonique trouvée : \[ f(x) = \left( x-\frac{1}{2} \right) ^2 - \frac{9}{4} \] Nous traçons donc la parabole associée, en modifiant les échelles, avec un coefficient $0.1$ en ordonnée pour obtenir une répartition moins éparpillée:

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Les dix premiers termes sont $u_0$ jusqu'à $u_9$ et valent: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline \\ u_n & -2 & -2 & 0 & 4 & 10 & 18 & 28 & 40 & 54 & 70 \\ \hline \end{array} \]

Question 2 - Suite générée par la fonction inverse.

Calcul des valeurs

Nous translatons d'abord le graphe de $g$ via le vecteur $(0\, ; 1)$ et ceci fait partie des résultats enseignés dans le chapitre 2. Les dix premiers termes de la suite $u$ vont de $u_3$ à $u_12$. Pour dix termes il y a neuf étapes, ainsi $(9+3=12)$ donne le dernier terme de la suite, pour se souvenir de ce résultat le mieux est de se rappeler ce qui sépare le maximum et minimum de l'ensemble $\{1\, ; 2\, ; 3\}$. Il y a deux étapes pour trois éléments.

La forme explicite de $u$ est la suivante : \[ \forall n \geq 3 \qquad u_n = 1+\frac{1}{n} \] Soit encore pour l'écrire directement sous la forme d'une fraction : $\displaystyle \frac{n+1}{n}$ .

La construction du tableau est immédiate : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline \\ u_n & \frac{4}{3} & \frac{5}{4} & \frac{6}{5} & \frac{7}{6} & \frac{8}{7} & \frac{9}{8} & \frac{10}{9} & \frac{11}{10} & \frac{12}{11} & \frac{13}{12} \\ \hline \end{array} \] C'est déjà l'occasion de s'initier au calcul des limites. La question se pose de savoir vers "quoi" se dirige le terme $u_n$.

Calcul d'une limite

Nous pouvons nous poser la question pour le graphe, soit le couple formé par l'abscisse $n$ et l'ordonnée $u_n$ ce qui revient au même dans l'étude de la question, la subtilité est qu'ici nous étudions alors une famille de points du plan repérés par coordonnées cartésiennes, quand le regard porté sur seulement $u_n$ consiste à estimer la valeur d'un réel, et donc sa direction sur la droite graduée, en particulier l'axe des ordonnées.

S'il est évident que la marche des entiers naturels indicés par $n$ a pour direction l'infini à une vitesse constante (+1 à chaque étape), le comportement de $u_n$ est légèrement plus technique. Il y a descente, donc $u_n$ ne se dirige pas vers l'infini ni vers une quelconque valeur plus grande que le premier terme par exemple, et même n'importe lequel de ses termes puisque la décroissance est stricte. Et ce résultat est simplement dû à la monotonie de la fonction $(x\mapsto g(x)+1)$ si l'on se souvient que $u$ est exactement cette fonction mais uniquement prise sur les entiers.

La suite $u$ est strictement décroissante et son premier terme est $u_3=4/3$. De plus elle est strictement positive : \[ \forall n \geq 3 \qquad u_n >0 \] On obtient un encadrement des termes $u_n$ entre 0 et quatre tiers. Notre intuition nous conduit à penser que $u_n$ ne peut aller au delà. Comment un terme pourrait s'approcher aussi près d'un nombre en dehors de l'intervalle fermé $\displaystyle [0\, ; \frac{4}{3} ]$ s'il ne peut franchir les frontières de l'intervalle. Mais c'est là un résultat qu'il convient de démontrer, le sujet est abordé au chapitre 4.

En attendant nous remarquerons que : \[ u_3 \approx 1.33 \quad u_4 =1.25 \quad u_5 = 1.2 \quad u_7 \approx 1.17 \; \ldots \; u_{100} = 1.01 \; \ldots \] Les termes se rapprochent de 1. La forme explicite donne exactement la vitesse de convergence : \[ u_n= 1+\frac{1}{n} \] Chaque terme de la suite est le nombre 1 augmenté de l'inverse de l'entier $n$. Or cet inverse est aussi petit que $n$ est grand. Mieux, la fraction $1/n$ tend vers zéro quand $n$ tend vers l'infini, et c'est là encore le sujet du chapitre 4, ce résultat est démontré pour la propriété 4.1 et pour le moment nous invitons le lecteur à calculer lui-même des valeurs $u_n$ d'indice toujours plus grand et d'observer la graphique de la courbe associé pour se donner une idée de la notion de convergence.

Graphique

Chaque bâtonnet dessiné au dessus de l'entier $n$ ci-dessous a pour longueur $u_n$. C'est une façon de représenter les termes de la suite.

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Solution

Question 1

Résolution

Les dix premiers termes de $u$ vont de $u_1$ à $u_{10}$. Même s'il est possible de définir $u_0$ et pourquoi pas $u_{-1}$ ainsi que tout indice entier relatif, l'essence de la définition tient dans la déclaration et non les possibilités. La déclaration s'est faite par l'expression $(n\geq 1)$ et c'est à partir de cette donnée que l'on cherche le premier terme. On peut se permettre pour si peu de valeurs de les calculer à la main, soit directement: \[ u_n=2n-7 \] ou par la relation de récurrence: \[ \begin{aligned} u_{n+1} & = 2(n+1)-7 \\ & =2n-7+2 \\ & =u_n+2 \end{aligned} \] On passe d'un terme à l'autre en ajoutant 2. Puisque $(u_1=-5)$ on obtient: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline \\ u_n & -5 & -3 & -1 & 1 & 3 & 5 & 7 & 9 & 11 & 13 \\ \hline \end{array} \] Puis vient la suite $v$ définie par: \[ v_n = u_{n-1}+3 \] L'erreur dans l'énoncé est évidente, on ne peut définir ni $v_0$, ni $v_1$. Ainsi $v$ existe à partir de $v_2$ et les dix premiers termes vont jusqu'à $v_{11}$ puisque $(11-2=9)$ ce qui donne 9 étapes, et il y a toujours un terme de plus que le nombre d'étapes. Le terme $v_n$ est lié à $u_{n-1}$ par une addition de 3. Ainsi il suffit de reprendre le tableau précédent et d'ajouter 3 à chaque terme dans la seconde ligne. Et l'on ajoute 1 sur la première ligne pour signifier le changement d'indice (on passe de $n$ à $(n-1)$ ) d'où: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n &  2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ \hline \\ v_n & -2 & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & 15 \\ \hline \end{array}\] A présent si l'on compare directement $u_n$ à $v_n$ on trouvera aussi un lien, une lecture directe des deux tableaux montre qu'il pourrait s'agir de: \[ v_n = u_n +2 \] En effet: \[ \begin{aligned} v_n & = u_{n-1}+3 \\ & = 2 (n-1) -7 + 3 \\ & = 2n-7 + 1 \\ & = u_n +1 \end{aligned} \] Cette formule nous permet de répondre de la manière la plus simple à la question sur la transformation géométrique. Pour un entier $n$ donné nous avons une relation entre $u_n$ et $v_n$, soit une relation entre les points de coordonnées $(n\, ; u_n)$ et $(n\, ; v_n)$. Pour une même abscisse, nous construisons deux points et l'écart entre leurs ordonnées respectives vaut 1: \[ v_n - u_n =1 \] Ceci est vrai pour tout entier $n$. Le résultat que nous énonçons s'applique donc pour les graphes de ces suites. Un graphe est un ensemble de la forme : \[ \{ M ( n\, ; u_n ) \quad n\in \mathbb{N} \} \] Ce qui se traduit par: l'ensemble des points $M$ du plan dont l'abscisse est un entier et l'ordonnée le terme de la suite $u$ associé. Ici, le graphe de $v$ se déduit par une translation de celui de $u$ dont le vecteur est vertical, plus précisément: \[ (0\, ; 1) \] Nous pouvons énoncer un résultat similaire directement depuis la définition de $v$. Puisque: \[ v_n = u_{n-1} +3 \] il y a un lien entre le terme d'indice $(n-1)$ pour $u$ et $n$ pour $v$. La translation possède une composante horizontale égale à 1, et verticale égale à 3.

Graphique

Nous plaçons le graphique, bien qu'il soit recommandé lors de la résolution de le produire en premier pour mieux approcher la solution. De plus, rappelons qu'une suite peut se voir comme restriction d'une fonction à la partie $\mathbb{N}$ incluse dans $\mathbb{R}$. Ce qui signifie que pour la construire, il suffit de savoir placer la courbe associée à la fonction $(x \mapsto 2x-7)$. Les valeurs aux abscisses entières sont les termes $u_n$ recherchés. De même pour $v$ avec la fonction translatée $(x \mapsto 2x-6)$, on pourra faire le lien avec la section impliquée du chapitre 2 sur les changements de variables, pour mieux apprécier le style différent lorsqu'on traite de ce sujet du point de vue des suites, où le caractère discret modifie la perception du lien entre $u$ et $v$. Le discret est ici le nom donné à cette séparation entre chaque élément de la suite.

Ci-dessous, le graphique représente en pourpre la droite d'équation $(x \mapsto 2n-7)$, les points dessinés en noir sont donc ceux qui composent le graphe de $u$ et les bleus ceux issus du graphe de $v$. Le décalage d'une unité est représenté en pointillé.

{C}[[{"type":"media","view_mode":"media_original","fid":"164","attributes":{"alt":"","class":"media-image","height":"1205","typeof":"foaf:Image","width":"732"}}]]

Remarque

Les suites $u$ et $v$ possèdent un pas régulier, elles font partie de la famille des suites arithmétiques: \[ \begin{cases} u_{n+1} & = u_n +2 \\ u_1 & = -5 \end{cases} \] Et: \[ \begin{cases} v_{n+1} & = v_n +2 \\ v_2 & = -2 \end{cases} \] Le même lien existe entre un terme et le suivant, mais puisque nous partons de termes initiaux différents, les deux suites sont entièrement distinctes sur tout $\mathbb{N}$. Leur forme explicite est: \[ u_n = 2n-7 \qquad v_n = 2n-6 \]

Question 2

(a) Premiers termes

Calculons les termes de $u$ et de $v$, ceux de $w$ s'en déduisent par soustraction. Tout d'abord $u$ est la suite des entiers qui sont des carrés, mais ils ne sont pas numérotés dans l'ordre. Le premier entier qui soit un carré est zéro mais il n'est pas pris en compte. Le terme d'indice zéro est lié au premier carré non nul. Puis le reste s'enchaîne normalement. Ainsi, on ne lit pas $u_n=n^2$ mais plutôt on applique un changement d'indice décalé vers l'avant: $u_n = (n+1)^2$. \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \\ u_n & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36 & 49 \\ \hline \end{array}\] Quant à la suite $v$ il s'agit des carrés augmentés de 1. Cette fois-ci zéro est pris en compte: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \\ v_n & 1 & 2 & 5 & 10 & 17 & 26 & 37 \\ \hline \end{array}\] Pour obtenir $w$ visuellement on aligne les deux tableaux et on soustrait à $u_n$ la quantité $v_n$ pour chaque colonne $n$: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \\ w_n & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 \\ \hline \end{array}\] Il semblerait que $w$ soit la suite des nombres pairs, mais un constat ne vaut pas une preuve: \[ \begin{aligned} w_n & = u_n - v_n \\ & = (n+1)^2 - \left( n^2+1 \right) \\ & = n^2+2n+1 - n^2 -1 \\ & = 2n \end{aligned} \]

(b) Comparaison des suites

La comparaison peut se faire en différenciant les termes généraux de $u$ et $v$. On compare leur valeur d'un point de vue de l'écart, soit la distance qui les sépare pour deux termes de même indice. Il peut s'agir aussi d'un rapport entre les termes pour estimer la taille d'un terme en fonction de l'autre. Ici nous avons: \[ u_n-v_n= w_n=2n \] Ainsi l'écart entre deux termes $u_n$ et $v_n$ est proportionnel à $n$ d'un facteur 2. Pour le rapport: \[\begin{aligned}  \frac{u_n}{v_n} & = \frac{(n+1)^2}{n^2+1} & = 1+\frac{2}{n+1/n} \end{aligned} \] On peut le mettre sous la forme: \[ u_n = \left( 1 + \frac{2}{\delta_n} \right) v_n \] Les deux termes sont liés par un facteur sous forme d'une somme. Elle indique que le terme $u_n$ vaut $v_n$ additionné à une quantité supplémentaire. Plus $n$ devient grand et plus $\delta_n$ aussi. Ainsi la fraction $(2/\delta_n)$ diminue en valeur et tend vers zéro plus précisément. Quand $n$ tend vers l'infini les termes $u_n$ et $v_n$ ont tendance à s'approcher toujours plus au point qu'on peut approximer lorsque $n$ est grand: \[ u_n \approx (1+\varepsilon) v_n \] où le nombre $\varepsilon$ majore la fraction $2/\delta_n$. Puisqu'elle ne fait que diminuer, on se permet de la majorer par un nombre ne dépendant pas de $n$, et qui est aussi petit que l'on veut à condition d'aller chercher toujours plus loin. Les termes $u_n$ et $v_n$ ne se valeront jamais mais ils seront en comparaison de leur valeur assez proches. Ce qui peut paraître paradoxal quand on lit la différence: \[ u_n-v_n=2n \] puisque l'écart qui sépare deux termes est toujours plus grand. C'est juste que l'écart entre un terme $u_{n+1}$ et $u_n$ ainsi que $v_{n+1}$ et $v_n$ l'est tout autant.

Si l'on compare $w_n$ à $u_n$, il suffit de reprendre le lien entre les trois suites pour écrire: \[ u_n-w_n = v_n = n^2+1 >0 \] La différence est strictement positive pour tout entier $n$, donc chaque terme $u_n$ est strictement plus grand que chaque terme $w_n$. On dit que la suite $u$ majore $w$ sur tout $\mathbb{N}$, il arrive parfois qu'une suite en majore une autre uniquement sur quelques entiers. Le rapport donne: \[ \frac{u_n}{w_n} = 1+\frac{1}{2} (n+1/n) \] Les deux suites n'ont pas une valeur qui finit par se ressembler, au contraire, $u$ devient toujours plus imposante par rapprt à $w$. Le membre de droite sur l'équation ci-dessus est une somme. L'entier 1 indique que $u_n$ vaut au moins une fois $w_n$. Le nombre à droite tend à ressembler à la moitié de l'entier $n$. En effet, la valeur de $1/n$ comparée à $n$ devient toujours plus négligeable au fut et à mesure qu'on augmente la valeur de $n$, ils sont inversement proportionnels pour être plus précis. Ainsi lorsque $n$ devient grand, on écrit: \[ \frac{1}{2} (n+1/n) \approx \frac{1}{2} n \] de la même façon que lorsqu'on considère un milliard augmenté de un milliardième, dont on prend la moitié, cela est presque égal à la moitié d'un milliard.

(c) Comparaison entre termes

Après avoir mis en relation un terme de la suite $u$ avec celui de la suite $v$ de même indice, nous observons ce qu'il en est au sein d'une même suite. On compare les termes de $u$ entre eux, plus particulièrement nous recherchons le lien entre un terme et le suivant, pour comprendre le pas de la progression: \[ \begin{aligned} u_{n+1} & = (n+1+1)^2 \\ & = n^2+4n+4 \\ & = n^2+2n+1+(2n+3) \\ & = (n+1)^2+(2n+3) \\ & = u_n + (2n+3) \end{aligned} \] Plusieurs conclusions apparaissent, d'abord le signe de l'écart: \[ u_{n+1}-u_n > 0 \] nous enseigne que la suite est croissante. Le terme qui suit est toujours plus grand. De plus nous connaissons l'expression de cet écart: \[ 2n+3 \] nous voyons dans la suite du cours qu'il s'agit d'une progression arithmétique. Certes l'écart est toujours plus grand, et on peut dire mieux: il progresse à pas constant. A chaque nouveau saut d'étape, on ajoute deux untiés supplémentaire par rapport au saut précédent.

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De même pour $v$ et $w$ on trouve: \[ \begin{aligned} v_{n+1} & = (n+1)^2+1 \\ & = n^2+(2n+1)+1 \\ & = v_n + (2n+1) \end{aligned} \] La différence entre un terme et son suivant pour $v$ perd deux unités en comparaison à la différence entre les termes de $u$. Mais la nature est la même, il s'agit d'un décalage de type affine, comme pour les fonctions de la forme $(ax+b)$ nous avons ici $(an+b)$. Quant à la progression elle-même, on dit qu'elle est de type quadratique car dépendant du carré de la variable $n$.

On a pour $w$ une différence constante, alors que la progression est elle linéaire: \[ w_{n+1}-w_n = 2(n+1)-2n=2 \] On apprendra sur le cours des dérivées ce lien entre progression et différence de manière plus ciblée autour d'un point. On peut assimiler la différence entre deux termes d'une suite comme une notion de dérivée adaptée aux suites.

(d) Expression

Puisque: \[ u_{n+1}-u_n = 2n+3 \] et que: $w_n=2n$, on obtient en combinant ces deux résultats: \[ w_n=u_{n+1}-u_n-3 \] De même: \[ w_n=v_{n+1}-v_n-1 \] On peut aussi écrire $w_n$ en fonction d'un seul terme de la suite $u$ en posant: \[ w_n=2\sqrt{u_{n-1}} \qquad \forall n > 0 \]

Solution

Question 1 - Récurrence linéaire

Pour se faire une idée de la progression d'une suite, rien de tel que le calcul des premiers termes: \[ u_1=-2u_0 \quad u_2=4u_0 \quad u_3=-8u_0 \quad u_4=16u_0 \] Un raisonnement par descente nous donne: \[ u_n=(-2)^n u_0 \] Tous les termes de la suite dépendent directement de $u_0$. Etant la forme de l'expression (un produit) il est bon de distinguer l'étude suivant la nullité et le signe de ce premier terme.

Si $(u_0=0)$ alors tous les termes de la suite sont nuls et $u$ est qualifiée de constante. Si $(u_0>0)$ alors le signe de $u_n$ dépend de celui de la puissance de $-2$. En fait, il en est de même dès que $u_0$ est non nul, il n'est pas utile de distinguer les signes. La suite n'a pas de monotonie, son signe est alterné. Il n'est donc pas utile de comparer $u_{n+1}$ à $u_n$.

On parle de récurrence car le calcul de $u_{n+1}$ s'exprime en fonction de la seule variable $u_n$ et elle est linéaire car: \[ u_{n+1} = f(u_n) \] où la fonction $f$ est linéaire: $f(x)=2x$.

Question 2 - Récurrence quadratique

Dans ce cas la fonction $f$ est quadratique: $f(x)=x^2$. Les premiers termes s'expriment ainsi: \[ u_1=u_0^2 \quad u_2=u_0^4 \quad u_3=u_0^8 \quad u_4=u_0^{16} \] Tous les termes sont des puissances du premier. Plus précisément on a: \[ u_n = u_0^{2^n} \] Encore une fois, il s'agit de produits, on vérifie les cas de nullité puis suivant le signe.

Si $u_0$ alors tous les termes sont nuls. La suite $u$ est constante.

Si $(u_0>0)$ alors $(u_n>0)$ pour tout $n$. Mais cela n'indique rien sur la monotonie si ce n'est qu'il peut y en avoir une. Pour tout $n$ on compare $u_{n+1}$ et $u_n$, c'est-à-dire un nombre et son carré. Or le chapitre 2 nous apprend qu'il y a deux cas stricts:

1. $u_n>1$. Dans ce cas le carré est strictement plus grand que le nombre. Alors: $u_{n+1}>u_n$.
2. $0<u_n<1$. C'est la situation inverse: $u_{n+1}<u_n$.

Seulement le résultat dépend de la position de $u_n$ par rapport à 1. Rien ne dit que pour tout $n$ nous aurons cette configuration. En effet, pour conclure sur une monotonie il faut donner un résultat pour tout $n\in \mathbb{N}$ ou au moins à partir d'un certain rang. Pour lever la difficulté, nous faisons remarquer le résultat suivant: \[ u_0>1 \quad \Rightarrow \quad \forall p \; \; u_0^p >1 \] Si le premier terme est au dessus de 1 alors tous les autres aussi. De même si $u_0$ est compris entre 0 et 1 alors tous les autres le seront. Finalement nous avons pour le cas $(u_0>0)$ trois possibilités: ou bien $(u_0>1)$ et alors la suite est strictement croissante. Ou bien $(0<u_0<1)$ et alors elle est strictement décroissante. Reste la situation $(u_0=1)$ où $u$ est constante égale à 1.

Si $(u_0<0)$ alors l'astuce pour s'éviter le moindre calcul consiste à écrire: $u_1=u_0^2$. Et voir que tous les termes de la suite $u$ s'expriment en fonction de $u_1$ qui est strictement positif: \[ u_n=u_1^{2^{n-1}} \] De plus $u_1$ est strictement positif et on a les trois mêmes possibilités que précédemment que l'on rattache à $u_0$ de la manière suivante:

1. Si $(u_0<-1)$ alors $u$ devient strictement croissante à partir du rang 1.
2. Si $(u_0=-1)$ alors $u$ est stationnaire à partir du rang 1.
3. Si $(-1<u_0<0)$ alors $u$ devient strictement décroissante à partir du rang 1.

Question 3 - Formule explicite

Ici chaque terme dépend directement de son indice, $u$ est la fonction cubique restreinte aux seuls entiers naturels. Nous savons que la fonction $(x \mapsto x^3)$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Il en est de même pour toute restriction du moment que les termes sont pris dans l'ordre. Il n'est pas utile de former un calcul mais pour information, l'écart grandit à la vitesse quadratique: \[ u_{n+1}-u_n = 3n^2+3n+1 \]

Question 4 - Suite dépendant d'une autre suite.

Tout d'abord, rappelons que l'objectif est l'étude de la monotonie de $u$ et rien d'autre. Pour simplifier, nous voyons que retirer 1 à chaque terme ne change pas une monotonie. Ainsi on peut se contenter d'étudier la suite de terme général $\sqrt{v_n}$. De plus la fonction racine carrée est définie sur tout $\mathbb{R}^+$ et tous les termes de $v$ sont supposés positifs, ce qui implique la bonne définition de $u$. Ceci étant dit, la fonction racine carrée a la particularité d'être strictement croissante. Nous avons vu au chapitre 2 que composer avec une telle fonction conserve entièrement la monotonie de la première. Ainsi étudier $u$ revient à étudier $v$. Elles ont même monotonie.

Solution

Question 1- Premiers termes d'une suite géométrique.

Exemple 1

$(u_0=2)$ et $(q=3)$. La raison vaut 3, donc chaque terme est le triple du précédent, et l'on démarre à partir de 2: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline \\ u_n & 2 & 6 & 18 & 54 & 162 & 486 & 1458 & 4374 & 13122 & 39366 \\ \hline \end{array} \] On montre dans la suite du cours la formule: \[ u_n=q^n \times u_0 \] qui dans ce cas vaut: \[ u_n=2 \times 3^n \]

Exemple 2

$(u_0=-1)$ et $(q=2)$. La raison vaut 2, donc chaque terme est le double du précédent, et l'on démarre à partir de -1: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline \\ u_n & -1 & -2 & -4 & -8 & -16 & -32 & -64 & -128 & -256 & -512 \\ \hline \end{array} \] Ici le terme général s'exprime ainsi: \[ u_n=-2^n \] C'est la suite opposée à la suite des puissances de 2.

Exemple 3

$(u_0=10)$ et $(q=1/4)$. La raison vaut un quart, donc chaque terme est le quart du précédent, dit inversement un terme est le quadruple du suivant. Et l'on démarre à partir de 10: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline \\ u_n & 10 & \frac{5}{2} & \frac{5}{8} & \frac{5}{32} & \frac{5}{128} & \frac{5}{512} & \frac{5}{2048} & \frac{5}{8192} & \frac{5}{32768} & \frac{5}{131072} \\ \hline \end{array} \] dans ce cas: \[ u_n=10 \times \left( \frac{1}{4} \right)^n = \frac{5}{\displaystyle 2^{2n-1}} \]

Question 2 - Calcul de la raison d'une suite géométrique.

On sait que $u_3$ vaut 25 et on sait aussi le relier à $u_1$ en appliquant deux fois de suite la définition d'une suite géométrique: \[ u_3=q \, u_2=q \, (q \, u_1) = q^2 \, u_1 \] Et on sait que $u_1$ vaut 5, d'où une équation dont la seule inconnue est celle que l'on recherche: \[ q^2=5 \] Il y a deux possibilités: \[ q=\pm \sqrt{5} \] Une seule est positive. Ce qui donne une seule solution: $q=\sqrt{5}$. Le premier terme vérifie: \[ u_1=q \, u_0 \] D'où: $u_0=\sqrt{5}$. Si l'on avait supposé $(q \leq 0 )$ alors ce serait l'opposé de la racine carrée de 5. Et le premier terme serait aussi l'opposé.

Question 3 - Exemple d'une suite géométrique qui n'est pas monotone.

Soit un entier $n$ quelconque: \[ u_{n+1}=(-1)^{n+1}=-1 \times u_n \] Ceci est l'expression d'une suite géométrique. Tous les termes de la suite sont reliés au suivant par une expression faisant intervenir une constante. Il est essentiel de trouver comme résultat une constante, par exemple: \[ u_{n+1}=(n+1) \times u_n \] ne représente pas une suite géométrique, le passage d'un terme à l'autre ne se fait pas avec la même raison. La conclusion est que $u$ définie dans la question est géométrique de premier terme 1 et de raison -1. On dit aussi qu'elle est alternée en raison d'un changement de signe à chaque étape. Et périodique car elle reproduit le même enchaînement $\{-1\, ; 1\}$. En deux étapes on revient à la même position, soit une période égale à 2.

Question 4 - Algorithme de calcul des termes d'une suite géométrique.

Cet algorithme est exposé dans la rubrique consacrée /livre/suite-géométrique il faut par contre modifier la fonction pour permettre à l'utilisateur d'indiquer combien de termes $N$ il veut dans son tableau. La structure générale est la suivante, en nommant $G$ la fonction prenant en argument un nombre $q$, un autre $u_0$ puis un entier $N$ et renvoie l'unique tableau rassemblant dans l'ordre les $N$ premiers termes de la suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$:

$G(q,u_0,N)$

Initialiser $u$ Tableau $N$ éléments, premier indice 0

$u[0] \leftarrow u_0$

Pour $i$ de 1 à $N$ Faire

$u[i] \leftarrow q \times u[i-1]$

FinPour

Afficher $u$

Solution

Question 1 - Trouver un terme à partir du premier et de la raison.

On applique la propriété 3.3: \[ u_{10}=q^{10}\, u_0=\frac{1}{\displaystyle 2^{10}} \times 1024 \] Or 1024 est la puissance dix de 2, d'où: \[ u_{10}=1 \]

Question 2 - Trouver la raison à partir de deux termes.

On a: \[ u_4 = q^4\, u_0 \] En exploitant les deux hypothèses $(u_0=3)$ et $(u_4=75)$ on trouve l'équation: \[ q^4=25 \] L'extraction de la racine carrée dans les deux membres montre que: \[ q^2=\pm 5 \] Or $q^2$ est positif, donc seule la valeur positive sera prise en compte. En revanche on garde les deux possibilités pour la nouvelles extraction: \[ q= \pm \sqrt{5} \] Il y a donc deux solutions qui satisfont au problème. Ceci est récurrent dans les problèmes de recherche de signe. Si une puissance paire intervient, elle occulte le signe, et si c'est une puissance impaire alors le signe sera mis en évidence.

Question 3 - Trouver la raison et le premier terme à partir de deux autres.

Nous montrons par l'exemple la propriété 3.4 qui suit dans le cours: \[ u_5=q^5\, u_0 \qquad u_2=q^2\, u_0 \] Si la raison est nulle alors tous les termes deviennent nuls, ce qui n'est pas le cas, donc $(q\neq 0)$. On peut diviser par ce nombre et se servir de \[ u_0= \frac{1}{q^2} u_2 \] Ce qui permet de relier $u_5$ à $u_2$: \[ u_5=\frac{q^5}{q^2}\, u_2=q^3\, u_2 \] En remplaçant ce deux termes par leurs valeurs respectives on trouve: \[ q^3=\frac{1}{8} \] Comme précisé à la question 2, lorsque la puissance est impaire, il y a une seule possibilité. D'un point de vue analytique, cela revient à traiter une fonction strictement monotone telle que $(x \mapsto x^3)$. La raison $q$ vaut un demi et permet de remonter au premier terme: \[ u_0=\frac{1}{q^2}\, u_2=2^2\times 8=32 \]

Question 4 - Caractériser une suite géométrique dont un terme est nul.

Soit $N$ l'entier pour lequel $u$ s'annule. Or la propriété 3.3 donne: \[ u_N=q^N\, u_0=0 \] Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est. Ou bien $u_0$ est nul, et dans ce cas puisque pour tout entier $n$ on a $u_n$ qui est un produit dont $u_0$ est l'un des facteurs (Toujours la propriété 3.3 mais appliquée à tous les termes de la suite) alors tous sont nuls et la suite $u$ est la suite nulle. Et tout est possible quant à la valeur de $q$.

Ou bien $q^N$ est nul et dans ce cas peu importe la valeur de $N$ on a toujours une unique solution à cette équation qui est $(q=0)$. Toutes les valeurs sont possibles pour $u_0$, et la suite $u$ devient stationnaire dès le rang 1 égale à 0.

Solution

Question 1 - Premier terme négatif et raison positive.

Par exemple $(u_0=-1)$ et $(q=1)$ vérifient les conditions. Tous les termes sont égaux à $u_0$.  Dans le cas plus général où $q$ est strictement positif il vient que toutes ses puissances le sont. Ainsi le facteur $q^n$ ne modifie par le signe de l'expression $q^n\, u_0$ qui vaut $u_n$ dont nous étudions le signe. On en conclut que tous les termes adoptent le même signe que l'autre facteur qui est $u_0$. La conclusion se formalise: \[ \forall n \in \mathbb{N} \quad u_n < 0 \]

Question 2 - Premier terme positif et raison négative.

Puisque $(q<0)$  les puissances paires seront strictement positives et les autres à l'opposé: \[ \forall n \in \mathbb{N} \quad \begin{cases} q^{2n} & >0 \\ q^{2n+1} & <0 \end{cases} \] Il reste à multiplier ce résultat à un nombre $u_0$ strictement positif, donc qui ne modifie en rien le résultat: \[ \begin{cases} u_{2n} & >0 \\ u_{2n+1} & <0 \end{cases} \]

Question 3 - Premier terme et raison négatifs.

Identique à la question précédente sauf si le dernier argument, le fait que $u_0$ soit strictement négatif rend les résultats opposés: \[ \begin{cases} u_{2n} & <0 \\ u_{2n+1} & >0 \end{cases} \]

Question 4 - Algorithme de calcul d'un terme à partir d'un autre terme et de la raison.

L'algorithme se nomme $T$ et prend quatre arguments: un nombre $a$, un entier $p$ pour indiquer la position de $a$ dans la suite, un entier $q$ précisant la raison de la progression géométrique, et enfin $N$ un entier identifiant l'indice du terme à calculer. L'algorithme direct appliquant à la lettre la propriété 3.4 est un simple calcul suivi de l'affichage du résultat:

$T(a,p,q,N)$

Afficher $q^{N-p} \times a$

Fin

Seulement le calcul peut devenir très lourd si la différence $(N-p)$ est grande. Le programme aura à effectuer autant de multiplications moins une. Nous faisons appel à une procédure intermédiaire qui redéfinit le calcul d'une puissance et nous la nommons $\text{Puiss}(q,x)$ où $q$ est le nombre à élever à la puissance l'entier $x$. L'astuce consiste à décomposer $x$ suivant sa division euclidienne par 2. En effet, supposons que nous calculions $q^{10}$. La méthode directe demande à poser 9 multiplications: \[ q \times \ldots \times q \] Le programme se charge de trouver le résultat à $q\times q$ et il le multiplie à $q$ et ainsi de suite. Alors qu'il existe une autre méthode, on créé une variable intermédiaire $z$: \[ q \leftarrow q\times q \] Puis on passe directement à $q^4$ en calculant: $z \times z$ On peut pour l'instant écrase la valeur de $z$ en lui assignant ce nouveau résultat: \[ z \leftarrow z \times z \] Ainsi l'adresse mémoire $z$ reçoit la valeur de $q^4$. On modifie à nouveau par le procédé: $ z \leftarrow z \times z $. La valeur sauvegardée est $q^8$. Pour arriver à $q^{10}$ il nous suffit d'utiliser la valeur de $q^2$ mais puisqu'on l'a ecrasé il faut la recalculer. L'idée consiste alors à conserver cette valeur au début dans une autre variable $y$ par exemple. Nous reviendront plus en détail sur ce genre d'algorithme dans la rubrique consacré, il s'agissait avant tout de sensibiliser aux techniques d'économies dans le calcul.

Question 5 - Algorithme de calcul du signe de n'importe quel terme.

Il y a la méthode directe qui consiste à calculer la valeur du terme d'indice $N$ avec la propriété 3.4 mais dont le défaut est qu'elle lance un calcul que nous n'exploitons que pour son signe. L'idée est ici de remplacer les vraies valeurs par d'autres plus simples, et le calcul effectué devient rapide quelque soit les données entrées. On introduit dans l'algorithme deux variables $X$ et $Y$ qui prendront soit la valeur $+1$ soit la valeur $-1$. On effectuera le produit $XY$ et le signe recherché est celui du nombre: \[ q^{N-p} \times a \] On lance la fonction $S$ avec comme entrées $(a,p,q,N)$. On associe à $X$ la valeur $+1$ si $(a>0)$ et $-1$ si $(a<0)$. Il y a un travail supplémentaire à effectuer pour $\displaystyle q^{N-p}$. Si la différence $(N-p)$ est paire alors on associe à $Y$ la valeur $+1$. Sinon il faut vérifier le signe de $q$ qui est le même que sa puissance. L'objectif est de remplacer le calcul du nombre $(q^{N-p} \times a)$ qui peut s'avérer long par celui-ci: \[ \pm 1 \, \times \pm 1 \] qui est immédiat:

$S(a,p,q,N)$

Si $(a=0\, $ ou $\, q=0)$ Alors

Afficher "Le terme est nul"

Sinon

Si $(a>0)$ Alors $(X \leftarrow 1)$ Sinon $(X \leftarrow -1)$ FinSi

Si $(N-p)$ EstPair Alors $(Y \leftarrow 1)$

Sinon

Si $(q>0)$ Alors $(Y \leftarrow 1)$ Sinon $(Y \leftarrow -1)$ FinSi

FinSi

FinSi

Renvoyer Signe$(X \times Y)$

On utilise une fonction Signe qui vérifie le signe d'un nombre donné directement. Et une fonction EstPair qui indique si un nombre est pair. On les retrouve dans tous les langages informatiques.

Solution

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Solution

Question 1- Equation de droite passant par deux points donnés.

Les points $A$ et $B$ ne sont pas alignés à la verticale, on peut donc trouver une équation de la forme \[ y=ax+b \] pour la droite $\mathcal{D}$ . Quant au coefficient directeur il se calcule à l'aide des quatre coordonnées par la formule: \[ \begin{align*} a & = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \\ & = \frac{0.49-0.25}{0.7-0.5} \\ & = \frac{0.24}{0.2} \\ & = 1.2 \end{align*} \] Puis l'ordonnée à l'origine peut se déterminer en appliquant l'équation à la relation d'appartenance $(B \in \mathcal{D} )$ . Le coefficient $b$ résout alors l'équation: \[ 2.5 = 1.2 \times 0.5 + b \] D'où le résultat: $b=0.35$ . L'équation recherchée est: \[ \mathcal{D} \; : \quad y = 1.2 \times x + 0.35 \] Le tracé donne, avec une grille de précision $10^{-1}$:

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Question 2 - Critère de bonne approximation.

Graphiquement nous constatons que la droite approche la courbe surtout entre $A$ et $B$. Le critère de bonne approximation énoncé en page 91 consiste à affirmer que pour toute précision $\delta$ on peut trouver un intervalle $\mathcal{I}$ contenant $A$ tel que tous les points de cet intervalle aient une image par $f$ proche de leur image par $g$ d'un écart plus faible que $\delta$.

La démonstration est classique. On part d'un réel strictement positif $\delta$. On considère que $\mathcal{I}$ existe déjà, et on choisit un réel $x$ en faisant partie. On estime la quantité \[ | f(x)-g(x) | \] L'objectif est de chercher une condition nécessaire sur $x$ telle que cette quantité soit plus petite que $\delta$. Et on observe si elle est aussi suffisante. Cela produit une condition nécessaire et suffisante sur l'intervalle $\mathcal{I}$ pour vérifier le critère.

En dehors de l'aspect purement technique, il est bon de constater l'aspect géométrique du critère, il est mentionné dans le cours. La droite $\mathcal{D}$ coupe la parabole en $A$, donc on peut s'approcher autant qu'on le souhaite des valeurs de $f$ en passant par $g$ qui est ici l'équation de la droite. Le calcul de $f(x)-g(x)$ donne: \[ f(x)-g(x) = x^2-1.2 x+0.35 \] Cette quantité désigne l'écart entre les deux courbes pour deux points situés sur une même verticale, elle tient compte du signe. Graphiquement elle est négative entre $B$ et $A$ et positive ailleurs. On reproduit ci-dessous la courbe représentant cette différence:

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On retrouve bien la région sur laquelle elle est négative et le reste est positif. Pour connaître la valeur absolue, on conserve la partie de la courbe située au dessus de l'axe des abscisses, et ce qui est en dessous est transformé par symétrie axiale comme ceci a été expliqué dans le chapitre 2, lorsqu'on compose avec une valeur absolue.

La résolution du problème consiste à trouver un intervalle $\mathcal{I}$ centré autour de $0.7$ tel que les éléments de $\mathcal{I}$ aient une image par $|f(x)-g(x)|$ plus petite que $\delta$. Graphiquement cela revient à résoudre ce qui suit:

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La symétrie de la parabole autour de la droite $(x=0.6)$ implique de rechercher l'extrémité droite du segment $\mathcal{I}$ qu'on a imposé centré en $A$. Avant d'entamer tout calcul, il faut savoir que la question est résolue, dans le sens où puisque 0.7 est une racine de la différence $f(x)-g(x)$ il advient d'après le théorème des valeurs intermédiaires, qu'il existe un intervalle centré en $0.7$ tel que tous les éléments de celui-ci aient une image par $f(x)-g(x)$ plus petite que $\delta$.

Question 3 - lien entre la précision $\delta$ et la taille de l'intervalle $\mathcal{I}$ .

On écrit: \[ \mathcal{I} = [ 0.7-\mu \, ; 0.7+\mu ] \] L'intervalle est centré en $A$ et le nouveau paramètre $\mu$ désigne l'ajustement à trouver en fonction de la précision $\delta$ recherchée. La symétrie indiquée précédemment implique qu'un majorant de la fonction $|f-g|$ est sa valeur en l'extrémité droite: \[ \forall x \in \mathcal{I} \qquad |f(x)-g(x)| \leq f(0.7+\mu)-g(0.7+\mu) \] Sa valeur est: \[ \mu (\mu+0.2) \] On doit la majorer par $\delta$. D'où l'inéquation du second degré reliant $\delta$ aux bornes de l'intervalle: \[ \mu^2+0.2\, \mu -\delta < 0 \] La résolution donne deux solutions: \[ \frac {-0.2 \pm \sqrt{0.04+4\delta}}{2} \] entre lesquelles la quantité est strictement négative. Ainsi une condition nécessaire est, en simplifiant les solutions trouvées: \[ \mu \in ] \frac{1}{10} (-1-\sqrt{1+100\delta}) \, ; \frac{1}{10} (-1+\sqrt{1+100\delta}) [ \] Seules les valeurs positives de $\mu$ sont utiles. Au final le lien est le suivant: \[ 0 < \mu < \frac{1}{10} \left( \sqrt{100\delta+1} - 1 \right) \]

Résumé

Nous avons tracé deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{D}$ . L'une liée à $f$ et l'autre à $g$ . Nous avons étudié l'écart qui existe entre les deux quantités $f(x)$ et $g(x)$ . Ce qui représente la distance entre un point d'une courbe à celui situé sur la même verticale et sur l'autre courbe. L'étude se fait sur la fonction $|f-g|$ . Pour une précision fixée $\delta$ il apparaît que l'intervalle $\mathcal{I}$ centré en $0.7$ et de longueur \[ \frac{1}{5} \left( \sqrt{100\delta+1} - 1 \right) \] vérifie le critère de bonne approximation, et il est l'intervalle le plus grand. On trouve la valeur maximale de $\mu$ en tenant compte de la valeur en $(0.7+\mu)$ de la fonction $|f-g|$ représentée en bleu sur le dessin ci-dessous. La région grisée est celle où $\mathcal{D}$ est proche de la parabole $\mathcal{C}_f$ d'une distance inférieure à $\delta$. A gauche de $0.7$ elle est au dessus et à droite au dessus, en $0.7$ elle atteint la parabole au point $A$.

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Question 4 - Intervalle le plus grand sur lequel l'approximation jugée satisfaisante.

Une fois la question 3 entièrement traitée, celle-ci devient immédiate, il suffit d'appliquer la formule trouvée. Pour $\delta=0.5$ le maximum pour $\mu$ est: \[ \frac{1}{10} \left( \sqrt{51}-1 \right) \] soit environ $0.614$, d'où un intervalle $\mathcal{I}$ approchant: \[ ] 0.086 \, ; 1.314 [ \] Pour une précision plus fine $(\delta=0.1)$ le paramètre $\mu$ sera au plus égal à: \[ \frac{1}{10} \left( \sqrt{11}-1 \right) \] soit environ $0.232$ . L'intervalle sera environ: \[ ] 0.468\, ; 0.932 [ \] Certes il est plus resserré mais nous constatons que pour une précision 5 fois plus importante, le paramètre $\mu$ n'a été divisé que par 3 environ.

Question 5 - Calculs avec un point $M$ mobile.

Le coefficient vaut: \[ \frac{0.49-m^2}{0.7-m} = 0.7+m \] et le paramètre $b$ se déduit en appliquant la relation $ A \in (AM) $ : \[ b = 0.49 - (0.7+m) \times 0.7 = -0.7\, m \] On retrouve les résultats de la question 1 si l'on remplace $m$ par $0.5$ . L'équation de $(AM)$ est: \[ y = (m+0.7) x -0.7m \]

Question 6 - Comparaison de droites suivant le critère de bonne approximation.

On peut prendre comme critère de comparaison l'intervalle $\mathcal{I}$ pour une précision $\delta$ donnée. On calcule deux intervalles, l'un étant lié à la droite $(AB)$ et l'autre à $(AM)$ . On considère que la meilleure approximation est faite pour la droite ayant l'intervalle le plus grand. Seulement, il se peut  qu'une fonction ait un intervalle plus grand mais que l'écart moyen à l'intérieur reste moins bon que pour l'autre fonction.

Prenons un exemple: soit la fonction $f$ d'équation $(f(x)=1)$ à approcher, certes cela n'a aucun intérêt d'approcher une fonction aussi simple, mais nous le faisons pour donner un exemple simple à comprendre. Les deux courbes suivantes approchent $\mathcal{C}_f$ . L'une d'elle est la droite d'équation $(y=0.8)$ et elle reste dans une ragion grisée de largeur $\delta=1$ . Tandis que l'autre courbe est une parabole qui passe dans la région grisée sur un plus court intervalle. Ainsi elle est une moins bonne approximation au sens des tailles d'intervalles. En revanche, la parabole peut atteindre de meilleure précisions. En effet, si nous imposons $(\delta=0.1)$ alors la droite $(y=0.8)$ n'aura aucun intervalle sur lequel elle approche $(y=1)$ alors que la parabole en possèdera toujours un quelque soit la valeur de $\delta$.

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Le critère de bonne approximation peut être l'intervalle le plus grand pour une précision donnée, mais aussi la meilleure précision pour un intervalle fixé à l'avance. C'est ce qui fait qu'on ne peut conclure entre $(AB)$ et $(AM)$ .

Question 7 - Notion de dérivation.

Nous n'égalisons pas $M$ et $A$ mais plutôt en étudiant l'équation de $(AM)$ nous observons ce qui se passe lorsque $M$ tend vers $A$ .  Alors $m$ devient très proche de $0.7$ au point de l'approcher. Ainsi l'équation tend vers: \[ y = 1.4 x - 0.49 \] Le coefficient directeur devient le double de l'abscisse du point $A$. La droite $(AM)$ tend vers une droite particulière appelée tangente de $\mathcal{C}_f$ en $A$ . 

Solution

Résolution géométrique

Soit $A(a\, ; f(a) )$ un point de la courbe $\mathcal{C}_f$ dont la fonction $f$ vérifie la propriété énoncée. Le taux est constant pour tout $M(m\, ; f(m) )$ . Soit $M_1$ un premier point. On a comme taux entre $A$ et $M_1$ le nombre $c$ qui représente le coefficient directeur de la droite $(AM_1)$ . Soit à présent un point $M_2$ appartenant à la courbe distinct de $M_1$ . Le taux étant constant, le coefficient directeur de $(AM_2)$ est le même que celui de $(AM_1)$ . Les deux droites sont parallèles. Puisqu'elles partagent le point $A$ on en déduit qu'elles sont confondues.

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Puisque ces deux droites sont confondues, le point $M_2$ appartient à la droite $(AM_1)$ . A présent, toute la subtilité du raisonnement repose sur la gestion des quantificateurs. A savoir que nous avons raisonné sur n'importe quel point $A$ de la courbe $\mathcal{C}_f$ . Laissons le fixe pour l'instant. De plus nous avons choisit n'importe lequel des points $M_1$ de la courbe. Laissons le fixe. Jusqu'ici il nous est permis de faire appel à la propriété, puisque le taux est le même en tout point $A$ à partir de n'importe quel autre point $M_1$ . Or le raisonnement continue avec un point $M_2$ quelconque de la courbe. Le résultat s'applique donc à tout point $M$ de la courbe:

Tout point $M$ de la courbe se situe sur la droite $(AM_1)$ qui ont été fixés au préalable. La courbe est contenue dans une droite, son équation est donc affine.

Résolution analytique

Pour tout réel $a$ et réel $m$ on a: \[ \tau = \frac{f(a)-f(m)}{a-m} \] qu'on suppose constant égal au nombre $c$ . Or nous avons vu dans le cours une propriété pour la fonction $g$ définie par: $g(x)=cx$ . Son taux $\tau_g$ est constant pour tout $a$ et à partir de tout $m$ et vaut $c$ , ainsi nous pouvons écrire: \[ \tau - \tau_g = 0 \] Nous voyons aussi que cette différence de taux est elle-même un taux, celle de la fonction $f-g$ .

Nous avons vu qu'une fonction constante a pour taux 0. Qu'en est-il de la réciproque? Soit $h$ une fonction de taux nul. Alors: \[ \forall x \neq m \qquad \frac{h(x)-h(m)}{x-m} = 0 \] Fixons $x$ en un point quelconque, par exemple 1. Alors: \[ \forall m \; \in \; \mathbb{R}\setminus \{ 1 \} \qquad h(m)=h(1) \] Nous en déduisons que $h$ est constante. Il y a donc équivalence entre les deux propriétés:

• Une fonction est constante
• Une fonction admet un taux nul

Ainsi la fonction $(f-g)$ est constante. Soit $b$ cette constante. Sachant l'expression de $g$ on en déduit celle de $f$ : \[ \forall x \in \mathbb{R} \qquad f(x) = cx+b \]

Solution

Question 1 - Calcul de l'équation d'une tangente.

Nous traçons la courbe $\mathcal{C}_f$ liée à la fonction cubique et les tangentes demandées. Leur équation se déduit directement de l'expression de $f$ et $f'$ trouvée dans le cours ainsi que de la formule donnée en page 95 : \[ \mathcal{T}_{-1} \; : \; y = f(-1) \left( x- (-1) \right) + f(-1) \] Ce qui donne : $ y = 3x+2 $ . De même, pour 0 on trouve l'axe des abscisses comme tangente. Et en $+1$ il s'agit de la droite $\mathcal{T}_{+1}$ d'équation : \[ y = 3x-2 \] On en déduit les tracés suivants avec une grille de précision $0.5$ :

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Question 2 - Position relative de la courbe cubique à ses tangentes.

Méthode

Il suffit d'effectuer la différence entre $f(x)$ et la quantité $y(x)$ liée à la tangente en $-1$ : \[ f(x)-y(x) = x^3-3x-2 \] Il s'agit ensuite d'étudier le signe de cette quantité. Suivant le signe on en déduit les positions. Or il s'agit d'une équation cubique, nous ne disposons pas forcément des connaissances pour la résoudre. Ceux qui observent attentivement l'équation : \[ x^3-3x-2 = 0 \] verront que $+2$ est solution mais cela ne suffit pas. Rappelons toutefois que l'équation indique les abscisses en lesquelles il y a intersection entre la courbe $\mathcal{C}_f$ et sa tangente en $-1$ . Or, par définition, elles se croisent en $-1$ . Ce nombre est une racine de l'équation et nous pouvons affirmer qu'il existe trois réels $a,b,c$ tels que : \[ x^3-3x-2 = (x+1) (ax^2+bx+c) \] En développant cette expression : \[ x^3-3x-2 = ax^3+(a+b) x^2 + (b+c) x +c \] Il vient par identification : \[ \begin{cases} a = 1 \\ a+b = 0 \\ b+c = -3 \\ c = -2 \end{cases} \] D'où : \[ a=1 \quad b=-1 \quad c=-2 \] Nous nous retrouvons à résoudre l'équation du second degré: \[ x^2-x-2 = 0 \] On trouve un discriminant égal à $9$ et donc deux racines qui sont $-1$ et $+2$ . Ainsi le polynôme $(x^3-3x-2)$ admet $-1$ comme racine double et $+2$ comme racine simple: \[ x^3-3x-2 = (x+1)^2 (x-2) \] Pour une racine simple il y a changement de signe mais pour une racine double il n'y en a pas. Ainsi il y a un signe pour l'expression $(f-y)$ avant $+2$ et un autre différent après $+2$ et elle ne s'annule qu'en $-1$ et $+2$

Conclusion

Avant $+2$ la courbe cubique est en dessous de sa tangente en $-1$ : \[ \forall x \in ] -\infty\, ; 2 [ \setminus \{-1\} \qquad f(x) < y(x) \] Et après $+2$ elle est définitivement au dessus: \[ \forall x \in ] 2\, ; +\infty [ \qquad f(x) > y(x) \] Elles se rencontrent en deux points : $-1$ et $+2$ .

Les autres tangentes

La tangente en $0$ se confond avec l'axe des abscisses. Il suffit donc d'étudier le signe de $f(x)$ pour connaître sa position. Il est connu que: \[ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline \\ x & -\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline \\ f(x) & & - & 0 & + & \\ \hline \end{array} \] La tangente est au dessus de la courbe avant $0$ et au dessus après, elles se coupent en $0$ uniquement.

La méthode pour comparer avec la tangente en $+1$ est identique. On pose: \[ f(x)-y(x) = x^3-3x+2 \] Sachant que $+1$ est racine, il existe $a,b,c$ tels que: \[ f(x)-y(x) = (x-1)(ax^2+bx+c) \] On trouve encore $(a=1)$ et $(c=-2)$ mais $(b=1)$ cette fois-ci. Le discriminant reste inchangée et les deux racines de l'équation: \[ x^2+x-2 = 0 \] sont alors $-2$ et $+1$ . Il y a une symétrie avec l'étude faite sur la tangente en $-1$ et celle-ci. Cette fois-ci on conclut que sur $] -\infty\, ; -2 [$ la courbe est en dessous de la tangente $\mathcal{T}_1$ . Sur $[-2 \, ; +\infty [$ la courbe est au dessus avec une intersection en $-2$ et $+1$ . On trace ci-dessous les trois courbes étudiées avec une échelle réduite pour l'ordonnée (on multiplie par le facteur $0.3$ en ordonnée) :

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Question 3 - Calcul d'angle entre droites à partir de leur équation cartésienne.

Soit $x$ un réel, la tangente en $x$ a pour équation, en prenant $X$ comme la variable d'abscisse et $Y$ l'ordonnée: \[ Y = f'(x) (X-x) + f(x) \] Soit en développant un peu:  \[ Y = 3x^2 \, X \, - \, 2x^3 \] Il faut bien comprendre que la variable s'appelle $X$ et $x$ est un réel fixé. La tangente en $x$ coupe l'axe des ordonnées en le point $P$ de coordonnées $(0\, ; -2x^3)$ et l'axe des abscisse en le point $Q$ de coordonnées $\displaystyle (\frac{2}{3} x \, ; 0 ) $

L'angle $\displaystyle \vartheta = \widehat{QPO}$ recherché peut être calculé à partir de sa tangente, qui est le rapport entre le côté opposé et le côté adjacent du triangle $OPQ$ ci-dessous:

{C}[[{"type":"media","view_mode":"media_original","fid":"197","attributes":{"alt":"","class":"media-image","height":"347","typeof":"foaf:Image","width":"496"}}]]

La formule est la suivante: \[ tan \vartheta = \frac{OQ}{OP} = - \frac{1}{3x^2} \] On peut se servir de la fonction arctan (nommée arc tangente) qui est l'opération inverse de la tangente et permet de retrouver un angle à partir de sa tangente: \[ \vartheta = \arctan \left( -\frac{1}{3x^2} \right) \]

Quelques valeurs particulières

Lorsque $x$ tend vers $0$ la fraction $(-1/(3x^2)$ tend vers $-\infty$ . Ce qui donne un angle qui tend vers $-\pi/2$ . On retrouve l'orthogonalité entre les deux axes. Si $x$ tend vers $+\infty$ alors la fraction tend vers 0 ce qui donne un angle qui tend vers $0$ . Enfin on peut s'interroger sur l'abscisse des points pour lesquels l'angle vaut $\pi/4$ ou $\pi/3$ et $\pi/6$ . Plutôt que de passer par l'arc tangente, il suffit de vérifier des propriétés sur le triangle. Pour que $\vartheta$ soit égal à $45^\circ$ il faut et il suffit que $OQ$ soit égal à $OP$ (triangle isocèle). Pour un angle de $30^\circ$ on cherche $OQ$ qui vaut la moitié de $OP$ et l'inverse pour $60^\circ$ .

Solution

Cas 1 - $f$ est quelconque et $g$ constante.

Somme avec une constante.

Puisque $f$ est quelconque nous ne pourrons apporter plus de précision. La fonction $g$ est constante. Ecrivons : \[ \forall x \in \mathbb{R} \quad g(x)=G \] La fonction $S$ s'écrit: \[ S(x) = f(x)+G \] Et sa dérivée est égale à celle de $f$ : \[ S'(x) = f'(x) \] C'est un résultat fondamental. Si deux fonctions sont égales à une constante additive près (c'est l'expression pour décrire le lien entre $S$ et $f$ ) alors elles ont même dérivées. Ceci parce que leur différence est une fonction constante. On l'interprète graphiquement en observant des variations identiques, même si les valeurs prises ne sont pas les mêmes, le mouvement décrit par les deux courbes est le même.

Produit avec une constante.

Si l'on multiplie une fonction $f$ par une constante $g$ alors on multiplie la dérivée par la même constante. Ainsi: \[ P'(x) = f'(x) \, g(x) + f(x) \, g'(x) \] Comme $g$ est constante, sa dérivée est nulle, d'où: \[ P'(x) = G \, f'(x) \] Ceci parce que pour deux abscisses $x$ et $m$ données, leurs ordonnées sont écartées d'un facteur $G$ lorsqu'on les multiplie par ce même facteur: \[ \frac{P(x)-P(m)}{x-m} = G \, \frac{f(x)-f(m)}{x-m} \] En passant à la limite on trouve $P' = G \times f'$ .

Cas 2 - $f$ est un polynôme et $g$ est linéaire.

La somme entre $f$ et $g$ est un polynôme. Si $f$ est de degré $n$ avec les coefficients $a_p$ affectés au degré correspondant à l'indice p variant de $0$ à $n$ alors: \[ S(x) = a_n x^n + \ldots + a_2 x^2 + (a_1+\rho) x + a_0 \] où $\rho$ est le coefficient directeur de $g$ . Dériver un polynôme s'effectue terme à terme d'après la formule de la dérivée d'une somme. Un monôme $x^p$ se dérive en $px^{p-1}$ . On retire un degré en multipliant le monôme par le degré qu'il possédait. D'où : \[ S(x) = na_n x^{n-1} + \ldots + 2a_2 x + a_1 + \rho \] On pourrait plus simplement écrire: \[ S'(x)=f'(x)+g'(x) = f'(x)+\rho \] Si l'on multiplie $f$ par $g$ on trouve le polynôme: \[ P(x) = \rho ( a_n x^{n+1} + \ldots + a_2 x^3 + a_1 x^2 + a_0 x ) \] En dérivant on trouve le polynômé de degré $n$ dont le coefficient de degré $p$ vaut: \[ \rho \, (p+1) \, a_p \] On pourrait raisonner sur la formule du produit: \[ P'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) = \rho \, f'(x) \, x + \rho f(x) \] le terme $\rho \, f'(x) \, x $ donne le coefficient $\rho \, p \, a_p $ et le terme de droite donne le coefficient $\rho \, a_p$ au degré $p$ .

Cas 3 - $f$ et $g$ sont affines.

Le domaine de $S$ et $P$ est le même, il s'agit d'intersecter les deux domaines entre $f$ et $g$ . D'où \[ \mathrm{D}_f \cap \mathrm{D}_g = ] 5\, ; 6 ] \] Ecrivons: \[ f(x)=mx+\lambda \qquad g(x) = nx+\mu \] Le calcul des dérivées donne: \[ S'(x) = m+n \qquad P'(x) = 2nm \, x + (m\mu+n\lambda) \]

Solution

Question 1 - Polynôme du second degré.

Pour $(n=0)$ la fonction $h$ est constante. Pour $(n=1)$ c'est une fonction affine et pour $(n=2)$ c'est une fonction du second degré, représentée par une parabole. La dérivée est nulle lorsque $n$ vaut 0, puis constante égale au coefficient $a_1$ si $n$ vaut 1 et enfin, lorsque $(n=2)$ : \[ h'(x) = 2a_2x+a_1 \]

Question 2 - Polynôme du troisième degré.

On dérive terme à terme: \[ h'(x) = 3a_3x^2+2a_2x+a_1 \] Si l'on représente les coefficients de $h$ et $h'$ sous la forme d'un tableau, on constate un décalage de ceux de $h$ vers la droite après multiplication par le degré auquel ils étaient liés: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline h & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline \\ h' & 0 & 3a_3 & 2a_2 & a_1 \\ \hline \end{array} \] On peut aussi affirmer que la dérivée d'un polynôme est aussi un polynôme, de degré moindre d'une unité.

Question 3 - Dérivées successives de la fonction cubique.

La fonction $h'$ est aussi un polynôme, donc elle est dérivable sur tout $\mathbb{R}$ et sa dérivée s'exprime ainsi: \[ h''(x) = 6a_3x+2a_2 \] C'est une fonction affine. Le même argument permet d'affirmer l'existence d'une dérivée tierce, notée $h^{(3)}$ pour éviter la répétition des primes: \[ h^{(3)} (x) = 6a_3 \] C'est une fonction constante. Et par la suite, les dérivées successives sont nulles.

Question 4 - Calcul des dérivées successives pour le cas $(n>3)$.

On généralise l'étude précédente. Soit $h$ tel que défini dans l'énoncé de degré $(n>3)$ . Les coefficients sont notés $\{ a_n \ldots a_0 \} $ où $a_p$ est lié au degré $p$ . Alors $h'$ est un polynôme de degré $(n-1)$ et dont le coefficient de degré $p$ vaut $(p+1)a_{p+1}$ : \[ h'(x) = na_n \, x^{n-1} + \ldots + 2a_2 \, x + a_1 \] On recommence l'opération pour obtenir la dérivée seconde: \[ h''(x) = n (n-1) a_n \, x^{n-2} + \ldots + 6a_3 \, x + 2a_2 \] Et encore une fois pour la dérivée troisième: \[ h^{(3)} (x) = n(n-1)(n-2) a_n \, x^{n-3} + \ldots + 6a_3 \]

Question 5 - Calcul sur un exemple de degré 5.

Le développement donne: \[ \begin{align*} (x-1)^3(x+2)^2 & = (x^3-3x^2+3x-1)(x^2+4x+4) \\ & = x^5 + x^4 - 8x^3 +8x-4 \end{align*} \] Puis en dérivant terme à terme: \[ \begin{equation*} h'(x) = 5x^4+4x^3-24x^2+8 \\ h''(x) = 20x^3+12x^2-48x \\ h^{(3)} (x) = 12\, (5x^2+2x-4) \end{equation*} \] Le fait de développer permet d'utiliser la technique la plus simple, consistant à dériver terme à terme de manièrez indépendante. En conservant l'expression factorisée, la dérivation se fait par la formule plus lourde du produit: \[ h'(x) = 3(x-1)^2(x+2)^2+2(x-1)^3(x+2) = 5\, (x-1)^2(x+2) \left(x-\frac{4}{5} \right) \] Pour dériver $h'$ il vaut mieux n'avoir que deux facteurs. Ecrivons: \[ h'(x) = (x-1)^2(5x^2+6x-8) \] La dérivée donne: \[ h''(x) = 2(x-1)(5x^2+6x-8)+(x-1)^2(10x+6) \] que l'on conserve telle quelle, puis: \[ h^{(3)} (x) = 2(x+2)(5x-4)+8(x-1)(5x+3)+10(x-1)^2 \] Un développement de ces expressions permet de retrouver les résultats précédents.

Question 6 - La suite des dérivées successives.

Plutôt que de considérer $p$ quelconque, regardons pour $(p=4)$ le résultat: \[ h^{(4)} (x) = 12\, (10x+2) \] Puis: \[ h^{(5)} (x) = 24 \] Enfin, on peut conclure: \[ \forall p >5 \quad h^{(p)} = 0 \]

Question 7 - Comportement de la suite pour une fonction polynomiale.

Si $h$ est de degré $n$ , chaque dérivation retire exactement un degré. Nous disons exactement car le plus grand coefficient $a_n$ est supposé non nul, donc chaque dérivée est exactement d'un degré moindre que sa fonction associée. Ainsi $h^{(p)}$ est de degré $(n-p)$ pour tout entier $p$ plus petit que $n$ et nul au delà.

Pour la fonction $h^({n})$ qui est la dérivée n-ième le degré est 0 et constant non nul égal à : \[ n(n-1)(n-2) \ldots 3 \times 2 \times 1 \; a_n \] qu'on note : \[ (n!) \times a_n \] où l'élément $(n!)$ est appelé factorielle de $n$ , c'est le produit de tous les entiers naturels compris entre 1 et n. Cette fonction est la dernière a être non nulle dans la famille des dérivées successives de $h$ . Viennent ensuite les dérivées d'ordre supérieures toutes nulles.

Le nombre $h^{(p)}$ est nul si $(p<n)$ . On est sûr qu'il est non nul si $(p=n)$ et vaut $(n!)a_n$ . Pour le reste, le cas général ne permet pas de conclure mais nous pouvons donner la formule générale en remplaçant toutes les puissances de $x$ par 1: \[ \begin{align*} h^{(p)} (1) = & n(n-1)\ldots(n-p+1) \; a_n \\ & + (n-1)\ldots(n-p) \; a_{n-1} \\ & + \ldots \\ & + (p!) \; a_p \end{align*} \] On remarquera que les facteurs accompagnant chaque coefficient $a_k$ sont une partie d'une factorielle. Par exemple, pour la dérivée troisième d'un polynôme de degré 5, on trouve: \[ h^{(3)} (x) = 5\times 4\times 3 \times a_5 \; x^2 + 4 \times 3 \times 2 \times a_4 \; x+ 3\times 2\times 1 \times a_3 \] Le terme $5\times 4\times 3$ peut aussi s'écrire : \[ \frac{5!}{2!} \] où le cinq correspond au degré de base dans le polynôme $h$ et 2 est la différence entre le degré et le nombre de dérivation. Plus généralement: \[ h^{(p)} (1) = \frac{n!}{(n-p)!} \, a_n + \frac{(n-1)!}{(n-1-p)!} \, a_{n-1} + \ldots + \frac{p!}{(p-p)!} \, a_p \] L'utilité du symbole sigma s'illustre ici: \[ h^{(p)} (1) = \sum_{k=p}^{n} \frac{k!}{(k-p)!} \, a_k \]

Solution

Résultats généraux

De manière générale, on considère une fonction $g$ quelconque et $\ell$ est telle que $(\ell=1/g)$ . Sans plus d'information il est possible de lier le domaine de $\ell$ à celui de $g$ en disposant de la connaissance de l'ensemble $\{ g=0 \}$ qui est une notation pour décrire l'ensemble des abscisses $x$ sur $\mathbb{R}$ telles que l'image associée $g(x)$ soit nulle. On a la relation ensembliste: \[ \mathcal{D}_{\ell} \; = \; \mathcal{D}_g \cap \{ g=0 \} \] On prend du domaine de $g$ toutes les abscisses pour lesquelles l'image par $g$ est non nulle, ceci car la division par zéro n'est pas permise alors que pour le reste il n'y a pas de restriction.

Dans tous les cas là où la dérivée de $g$ existe, celle de $\ell$ existe aussi. Evidemment on ne peut dériver là où $\ell$ n'est même pas définie. D'où: \[ \mathcal{D}_{\ell '} \; = \; \mathcal{D}_{g'} \cap \{ g=0 \} \] Ce lien se retrouve dans l'expression de $\ell'$ : \[ \forall x \in \mathcal{D}_{\ell'} \quad \ell' (x) = - \frac{g'(x)}{g(x)^2} \] On pourrait penser qu'il faille tenir compte du domaine de $g'$ et de celui de $g$ mais il suffit de constater que le premier est inclus dans le deuxième.

Question 1 -  Dériver l'inverse d'une fonction affine.

Si $g$ est la fonction nulle alors $\ell$ ne peut être définie. Si $g$ est une fonction constante non nulle alors $\ell$ est définie sur tout $\mathbb{R}$ et de dérivée la fonction nulle. Le domaine de dérivabilité est aussi $\mathbb{R}$ .

Si $g$ est affine telle qu'il existe deux réels $a$ et $b$ avec $a$ non nul: \[ g(x) = ax+b \] Alors le domaine de $\ell$ est $\mathbb{R}$ privé de la racine de $g$ . La fonction $\ell$ est dérivable sur ce même ensemble et de dérivée: \[ \ell'(x) = - \frac{a}{(ax+b)^2} \] On écrit formellement les domaines: \[ \mathcal{D}_{\ell} \; = \; \mathcal{D}_{\ell'} \; = \; \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{b}{a} \right\} \] Il n'y a pas d'autres situations à prendre en compte. Ci-dessous l'exemple de la fonction $g$ avec 1.5 en coefficient directeur et -3 pour l'ordonnée à l'origine. En inversant $g$ , la fonction $\ell$ n'est pas définie en $(x=2)$ , ses valeurs sont faibles en direction des bornes infinies et proches de $g$ lorsque $g(x)$ est proche de 1. Enfin, autour de la racine 2 la fonction $\ell$ admet des valeurs très grandes. Ce genre d'étude a été détaillée dans le chapitre 2 dans la section intitulée $(1/f)$ .

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La fonction $\ell'$ a un signe opposé à celui de $a$ , dans l'exemple elle sera strictement négative et symétrique par rapport à la droite $(x=-b/a)$ ce qui se traduit par l'égalité : \[ \ell' (x) = \ell' \left( -2\frac{b}{a} - x \right) \]

Question 2 - Dériver l'inverse d'un trinôme du second degré.

Cas sans racine

On suppose que $g$ n'est pas affine, qu'il s'agit bien de l'équation d'une parabole, donc que $(a \neq 0)$ . Tout d'abord s'il n'y a pas de racine alors $g$ ne s'annule pas et $\ell$ est définie et dérivable comme $g$ sur toute la droite réelle avec: \[ \ell' (x) = - \frac{2ax+b}{(ax^2+bx+c)^2} \] On donne l'exemple ci-après avec: \[ g(x) = x^2+1 \] La fonction $\ell$ est définie sur tout $\mathbb{R}$ et son graphe est le suivant:

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Sa valeur la plus élevée est 1 et atteinte en $(x=0)$ . Pour le reste $g$ est au dessus de la valeur 1 donc son inverse $\ell$ se situe en dessous de 1 et reste de même signe. Puisque les branches d'une parabole sont dirigées vers l'infini, celles de $\ell$ tendent vers zéro. L'expression de la dérivée indique le rapport entre une fonction affine et un polynôme du second degré, on obtient le graphe suivant en pourpre, nous indiquons en gris celui de $\ell$ pour comparer:

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Cas d'une racine double

Supposons que $g$ soit un polynôme avec une racine double $\lambda$ . On a: \[ g(x) = a(x-\lambda)^2 \] Dans ce cas $\ell$ est définie sur le domaine de $g$ privé de l'ensemble $\{ g=0 \}$ qui vaut le singleton $\{ \lambda \}$ . La fonction $g$ est dérivable sur tout $\mathbb{R}$ donc $\ell$ aussi mais on retire toujours l'ensemble des racines de $g$ . Les fonctions $\ell$ et $\ell'$ ont donc même domaine de définition. Le calcul de la dérivée se fait suivant la formule du cours: \[ \ell'(x) = -\frac{2a(x-\lambda)}{a^2(x-\lambda)^4} \] Ce qui après simplification donne: \[ \ell'(x) = -\frac{2}{a(x-\lambda)^3} \] Comme exemple d'illustration nous proposons la fonction $g(x)=(x-1)^2$ . Elle est proche de son inverse $\ell$ là où sa valeur avoisine 1 et la fonction $\ell$ diverge vers $+\infty$ près de l'abscisse 1 de chaque côté:

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Cas pour deux racines

Soit l'expression: \[ g(x) = a(x-\lambda)(x-\mu) \] les nombres $\lambda$ et $\mu$ désignent les racines distinctes de $g$ . Dans ce cas on a l'égalité d'ensembles: \[ \{ g=0 \} = \{ \lambda\, ; \mu \} \] On retire ainsi au domaine de $g$ ses deux racines pour obtenir celui de $\ell$ : \[ \mathcal{D}_{\ell} \; = \; \mathbb{R} \setminus \{ \lambda\, ; \mu \} \] La fonction $g$ est dérivable sur tout $\mathbb{R}$ et c'est là le domaine de $\mathcal{D}_{g'}$ . Nous retirons encore l'ensemble des racines de $g$ , ce qui donne l'égalité entre les domaines de $\ell$ et $\ell'$ . La dérivation donne: \[ \ell' (x) = - \frac{a[ 1 \times (x-\mu) + (x-\lambda) \times 1 ]}{a^2(x-\lambda)^2(x-\mu)^2} \] Le dénominateur étant le carré de $g$ et le numérateur sa dérivée, que l'on calcule suivant la formule de dérivation d'un produit. Après simplification on a: \[ \ell'(x) = \frac{1}{g(x)} \left( \frac{1}{x-\mu} + \frac{1}{x-\lambda} \right) \] On donne l'exemple de l'expression : \[ g(x)=2x(x-2) \] Les racines sont 0 et 2 en lesquelles $\ell$ n'est pas définie et admet des asymptotes verticales:

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Et la dérivée de $\ell$ s'exprime ainsi: \[ \ell' (x) = -\frac{x-1}{x^2(x-2)^2} \] On remarquera une antisymétrie entre un nombre $x$ et le nombre avec lequel il forme un segment dont 1 est le milieu. C'est-à-dire l'abscisse $1-(x-1)$ . On écrit: \[ \ell'(x) = - \ell' (2-x) \] Le graphe est le suivant:

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Question 3 - Dériver l'inverse d'une fraction simple.

Cette question est posée pour sensibiliser sur le calcul du domaine. La fonction $\ell$ est définie en fonction de $g$ . Son expression est: \[ \ell (x) = x^k \] valable pour tout entier $k$ non nul. On pourrait affirmer que le domaine de $\ell$ est $\mathbb{R}$ tout entier, mais ce serait oublier que $g$ n'est pas définie en zéro. Il ne peut être autrement pour $\ell$ puisque $\ell(0)$ doit être l'inverse de de celui de $g$ . Ainsi: \[ \mathcal{D}_{\ell} = \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \] Il y a une exception: si $k$ est nul alors $g$ est constante et vaut 1, y compris en zéro car par convention : $0^0=1$. Dans ce cas $\ell$ est définie, égale à 1, et dérivable sur tout $\mathbb{R}$ de dérivée la fonction nulle. Sinon: \[ \ell'(x) = k x^{k-1} \] avec un domaine de dérivabilité identique égal à $\mathbb{R}$ privé de zéro.

Solution

Question 1 - Dériver une fraction rationnelle.

Pour tous réels $a,b,c$ le numérateur est défini sur tout $\mathbb{R}$ . On retire l'ensemble des racines du dénominateur $(dx+e)$ qui est le singleton $(-e/d)$ et on a le domaine de $h$ : \[ \mathcal{D}_h = \mathbb{R} \setminus \{ -\frac{e}{d} \} \] Le domaine de dérivabilité pour le numérateur est $\mathbb{R}$ tout entier, de même pour le dénominateur, mais il faut retirer les racines du polynôme $(dx+e)^2$ qui apparaît au dénominateur de la dérivée, ainsi on a le même intervalle de dérivabilité et de définition pour $h$ . Le calcul donne: \[ h'(x)= \frac{ (2ax+b)(dx+e) - (ax^2+bx+c) \times d}{(dx+e)^2} \] En simplifiant on se ramène à: \[ h'(x) = \frac{adx^2+2aex+(be-cd)}{(dx+e)^2} \] Il est intéressant de constater que la constante vaut le déterminant des vecteurs $(b\, ; c)$ et $(d\, ; e)$ .

Etude de cas

Si $d$ est nul alors $h$ n'est rien d'autre qu'un polynôme du second degré, la fonction est alors définie et dérivable sur tout $\mathbb{R}$ et sa dérivée est une fonction affine.  Sinon on distingue des sous-cas, mais que $e$ soit nul ou non ne change rien à la nature de la fonction, de même si $c$ est nul. La valeur de $b$ ne modifie aussi que le positionnement de $h$ , seul $a$ donne deux résultats différents. Si $(a=0)$ alors on a une hyperbole, sinon le résultat est plus complexe.

Question 2 - Rapport entre une fonction et sa dérivée.

Le domaine de $g$ est l'intersection entre celui de $f$ et $f'$ auquel on retire les racines de $f$ . Or celui de $f'$ est toujours inclus dans celui de $f$ ce qui permet d'exprimer simplement: \[ \mathcal{D}_g = \mathcal{D}_{f'} \setminus \{ f=0 \} \] Le calcul donne: \[ g' = \frac{f'' f - f'^2}{f^2} \] On cherche une condition nécessaire sur $f$ et $f''$ pour que $g'$ soit strictement positive. On part donc de l'hypothèse $(g'>0)$ sur son domaine de définition. On a donc: \[ f f'' - f'^2 >0 \] car $f^2$ est strictement positive sur le domaine étudié (on a retiré l'ensemble de ses racines) il vient alors la condition nécessaire: \[ f f'' > f' ^2 \] On sait qu'un carré est au moins positif, il nous importe peu de savoir si $f'$ s'annule ou non, la conclusion est donc: \[ f f'' > 0 \] Cela revient à dire qu'en tout point $x$ du domaine de définition de $g'$ la valeur de $f(x)$ et celle de $f''(x)$ sont non nuls et de même signe. On peut donner comme exemple la fonction: \[ f(x) = \frac{1}{x-1} \] En dérivant successivement on trouve: \[ f'(x) = -\frac{1}{(x-1)^2} \qquad f''(x) = \frac{2}{(x-1)^3} \] Et  la fonction $g$ et sa dérivée valent: \[ g(x)=-\frac{1}{x-1} \qquad g'(x)=\frac{1}{(x-1)^2} \] Il est important de constater la négativité de $f$ et $f''$ sur $] -\infty\, ; 1[$ et leur positivité sur $]1\, ; +\infty[$ . Ils ont même signe sur chaque intervalle de définition de $g'$ . Toutes les fonctions citées, c'est-à-dire $f$ et ses dérivées successives ainsi que $g$ et sa dérivée, sont définies sur $\mathbb{R}$ privé de 1.

Question 3 - Etude d'un exemple.

Le domaine de définition et de dérivabilité est identique et vaut $\mathbb{R}$ privé des 3 réels suivants: -1, 0 et +2. Pour dériver on peut conserver la forme factorisée ou la développer: \[ f'(x) = - \frac{x^4+2x^3-5x^2+4x+4}{x^2(x-2)^2(x+1)^2} \] C'est la forme obtenue en développant avant de dériver. Si l'on dérive tel quel on trouve: \[ f'(x) = - \frac{x(x+2)(x+1)(x-1)-4(x+1/2)(x-2)}{x^2(x-2)^2(x+1)^2} \] Dans tous les cas étudier le numérateur s'avère très délicat. Pour disposer d'une méthode purement algébrique, on pourra se reporter au lien suivant:

http://serge.mehl.free.fr/anx/equ4_ferrari.html

Il s'agit de la méthode de Ferrari, les calculs sont longs mais on finit par aboutir au résultat. Nous donnons pour la suite seulement les valeurs approchées des deux solutions $\alpha$ et $beta$: \[ \alpha = -3.6 \qquad \beta=0.55 \] La fonction $f'$ est strictement positive sur $]\alpha\, ; \beta[$ et strictement positive sur: \[ ]-\infty\, ; \alpha[ \; \cup \; ]\beta \, ; +\infty[ \] Quant à la fonction $f$ on peut calculer explicitement son signe: \[ \begin{array}{|c|ccccccccccccc|} \hline \\ x & - \infty & & -2 & & -1 & & 0 & & 1 & & 2 &  & +\infty \\ \hline \\ x+2  & & - & 0 & & & & & & & & & + &  \\ \hline \\ x+1  & & - &  & & 0 & & & & & & & + &  \\ \hline \\ x  & & - & & & & & 0 & & & & & + &  \\ \hline \\ x-1  & & - & & & & & & & 0 & & & + &  \\ \hline \\ x-2  & & - & & & & & & & & & 0 & + &  \\ \hline \\ f(x)  & & - & 0 & + & || & - & || & + & 0 & - & || & + & \\ \hline \end{array} \] Le graphe de la fonction est le suivant, sachant que la courbe change de direction en les deux racines de sa dérivée:

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Solution

Question 1 - Calcul des vecteurs directeurs pente et unitaire.

Calcul des coordonnées

Le coefficient directeur de $f$ est $\sqrt{7}$ qu'on retrouve en ordonnée du vecteur pente qu'on note $\vec{v}$ . Son abscisse est 1 : \[ \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{7} \end{pmatrix} \] Le vecteur unitaire $\vec{u}$ est lié à $\vec{v}$ par la relation : \[ \vec{u} = \frac{1}{v} \vec{v} \] Cette opération permet de rendre n'importe quel vecteur (non nul) unitaire. La norme du vecteur $\vec{v}$ se calcule d'après le théorème de Pythagore: \[ v = \sqrt{ 1^2 + \displaystyle \sqrt{7} ^2 } = \sqrt{8} \] La racine carrée de 8 s'écrit aussi sous la forme $2\sqrt{2}$ et on aboutit aux coordonnées de $\vec{u}$ : \[ \vec{u} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{7} \end{pmatrix} \]

Graphique

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On choisit par exemple de placer $A$ sur l'axe des abscisses. Il a alors pour coordonnées $(1/\sqrt{7}\, ; 0)$ . Il reste deux possibilités pour $B$ et on choisit de le placer plus en avant. Ses coordonnées ne sont pas l'objet de la question, mais nous pouvons les calculer. Il suffit de constater que son abscisse $x_B$ et son ordonnée $y_B$ sont liées par deux relations: \[ \begin{cases} y_B = \sqrt{7} x_B - 1 & \text{car il est sur la droite} \\ (x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2 = 25 & \text{car $AB$ vaut 5} \end{cases} \] Les coordonnées de $A$ étant connues le système se résout aisément. Une autre méthode consiste directement à calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ car nous connaissons un point, sa longueur et le vecteur $\vec{u}$ avec lequel il est colinéaire. Sachant que ce dernier est unitaire, on obtient la relation: \[ \overrightarrow{AB} = 5 \times \vec{u} \] qui donne les deux coordonnées : \[ \overrightarrow{AB} = \frac{5}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{7} \end{pmatrix} \] Ce qui répond à la question posée. Si en plus on veut connaître les coordonnées de $B$ il suffit de translater $A$ par le vecteur $\overrightarrow{AB}$ ce qui donne : \[ x_B = x_A + \frac{5}{2\sqrt{2}} \qquad y_B = y_A + \frac{5\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} \]

Question 2 - Intersection de droites et colinéarité.

L'équation $(f=g)$ est équivalente après simplification à : \[ (\sqrt{7}-m) x = 2 \] Il n'y a pas de solution pour $(m=\sqrt{7})$ et il s'agit de la situation où les deux droites sont parallèles. L'observation de l'ordonnée à l'origine (-1 pour l'une et +1 pour l'autre) indique qu'elles ne peuvent être confondues. Il vient alors deux cas possibles:

$m=\sqrt{7}$ : dans ce cas, il n'y a pas de solution.

$m \neq \sqrt{7}$ : il existe une seule solution, c'est-à-dire un seul point d'intersection $I$ d'abscisse : \[ x_I = \frac{2}{\sqrt{7}-m} \] et dont l'ordonnée se calcule en utilisant l'équation cartésienne de l'une des deux droites étudiées. Par exemple avec $g$ : \[ y_I = \frac{2m}{\sqrt{7}-m} +1  = \frac{\sqrt{7}+m}{\sqrt{7}-m} \]

Vecteur unitaire $\vec{w}$

Il y a deux vecteurs unitaires, pour chaque sens, $\vec{w}$ et le calcul donne : \[ \vec{w} = \pm \frac{1}{\sqrt{1+m^2}} \begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix} \] Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$ sont colinéaires si et seulement si les deux droites sont parallèles, ce qui correspond au cas $(m=\sqrt{7})$ . Cela nous évite de poser le déterminant, mais on peut retrouver vite le résultat ainsi. Ci-dessous, on dessine le cas $(m=-1)$ :

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Question 3 - Etude d'une famille de tangentes à une parabole.

Le discriminant vaut 13 et les deux racines sont : \[ \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2} \] La dérivée se calcule terme à terme : \[ h'(x) = 2x-3 \] C'est une fonction affine qui s'annule en le point d'abscisse $3/2$ et négative avant et positive après. Ce qui permet de dresser le tableau de variations de la fonction $h$ : \[ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline \\ x & -\infty & & 3/2 & & +\infty \\ \hline \\ h'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline \\ h(x) & & \searrow & -13/4 & \nearrow & \\ \hline \end{array} \] L'équation de la tangente en le point $M$ à la parabole est donnée par la formule : \[ y = h'(x_M) (x-x_M) + h(x_M) \] on remplace $x_M$ par le réel $m$ et on développe, ce qui donne : \[ y = (2m-3) x - (m^2+1) \] La droite a pour coefficient directeur un nombre qui est $h'(m)$ et donc qui s'annule une fois, la tangente en le sommet $3/2$ est horizontale. Les tangentes pour les points situés à gauche du sommet sont décroissantes et celles à droite sont croissantes au sens strict. L'ordonnée à l'origine est toujours située sous le nombre -1.

Question 4 - Comparaison entre deux tangentes.

L'illustration qui suit représente le cas $(m=2)$ . On rappelle que le point $N$ est fixe et $M$ mobile sur la parabole.

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Sachant que $h(-2)$ vaut 9 on a : \[ \overrightarrow{NM} = \begin{pmatrix} m+2 \\ m^2-3m-10 \end{pmatrix} \] La tangente $\mathcal{T}_M$ a pour coefficient directeur $(2m-3)$ ce qui donne le vecteur pente : \[ \vec{u}_M = \begin{pmatrix} 1 \\ 2m-3 \end{pmatrix} \] Pour connaître celui de la tangente en $N$ il suffit de remplacer $m$ par l'abscisse correspondante, c'est-à-dire -2 et on trouve : \[ \vec{u}_N = \begin{pmatrix} 1 \\ -7 \end{pmatrix} \] Le déterminant vaut alors : \[ 1 \times (-7) - (2m-3) \times 1 = -2m-4 \] Il est nul en le réel -2, ce qui correspond au cas où $M$ rencontre $N$ . Enfin il est strictement négatif à droite de -2 et strictement positif à gauche.

Solution

Question 1 - Déterminant de deux vecteurs. Inversion d'un système.

Le déterminant $\det(\vec{u}\, ; \vec{v})$ vaut $(1 \times 1 - 2 \times 2)$ soit $-3$ . De plus on a le système : \[ \begin{align*} \vec{u} & = \vec{\imath} + 2 \vec{\jmath} \\ \vec{v} & = 2 \vec{\imath} + \vec{\jmath} \end{align*} \] On peut multiplier la première équation par 2 et lui ôter la seconde pour obtenir le vecteur $\vec{\jmath}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ . De même pour obtenir $\vec{\imath}$ . On trouve : \[ \vec{\imath} = -\frac{1}{3} \vec{u} +\frac{2}{3} \vec{v} \qquad \vec{\jmath} = \frac{2}{3} \vec{u} - \frac{1}{3} \vec{v} \] Les coefficients recherchés sont alors : \[ \alpha = \delta = -\frac{1}{3} \qquad \beta = \gamma = \frac{2}{3} \] Ci-dessous l'ancien repère représenté avec l'origine $O$ et les deux vecteurs de la base $(\vec{\imath}\, ; \vec{\jmath})$ directeurs des axes $(Ox)$ et $(Oy)$ avec enfin les nouveaux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ que nous plaçons ailleurs pour plus de lisibilité.

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Question 2 - Nouvelles coordonnées des vecteurs $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$.

Le couple de vecteurs $(\vec{\imath}\, ; \vec{\jmath})$ forme l'ancienne base. Et le couple $(\vec{u}\, ; \vec{v})$ la nouvelle. Si l'on considère un vecteur quelconque $\vec{a}$, ses coordonnées dans l'ancienne base sont les coefficients $p$ et $q$ qui apparaissent lorsqu'on l'écrit en fonction de $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ . Nous avons vu dans le cours qu'il est possible d'exprimer tout vecteur $\vec{a}$ à l'aide d'un même couple de vecteurs fixés, dès lors qu'ils sont non colinéaires. Ainsi le couple $(\vec{u}\, ; \vec{v})$ est une base. On a déjà trouvé l'expression du vecteur $\vec{\imath}$ sur cette base. Ses coordonnées sont donc lisibles dans la réponse à la question 1 : \[ \vec{\imath} \; \left(-\frac{1}{3} \, ; \frac{2}{3} \right) \; \text{dans la nouvelle base} \] De même pour le vecteur $\vec{\jmath}$ dont les coordonnées sont $(2/3 \, ; -1/3)$ dans la nouvelle base. Ci-dessous, nous présentons la façon d'obtenir les anciens vecteurs vecteurs à partir d'une combinaison des nouveaux, à gauche pour $\vec{\imath}$ et à droite pour $\vec{\jmath}$ .

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Question 3 - Nouvelles coordonnées de points.

Soit $A(x,y)$ un point du plan de coordonnées $x$ et $y$ dans l'ancienne base. Cela se traduit par la relation: \[ \overrightarrow{OA} = x \vec{\imath} + y \vec{\jmath} \] Il nous suffit d'exprimer les vecteurs de l'ancienne base dans la nouvelle pour obtenir les nouvelles coordonnées du vecteur $\overrightarrow{OA}$ et cela donne alors aussi les nouvelles coordonnées de $A$ : \[ \begin{align*} \overrightarrow{OA} & = x \vec{\imath} + y \vec{\jmath} \\ & = x \left( -\frac{1}{3} \vec{u} +\frac{2}{3} \vec{v} \right) \; + \; y \left( \frac{2}{3} \vec{u} - \frac{1}{3} \vec{v} \right) \\ & = \frac{2y-x}{3} \vec{u} + \frac{2x-y}{3} \vec{v} \end{align*} \] Le point $A$ possède comme nouvelle abscisse le réel $(2y-x)/3$ et comme nouvelle ordonnée le réel $(2x-y)/3$ . Il n'est pas utile pour traiter la question d'aborder le cas général comme nous venons de le faire, mais cela permet de clarifier le sujet. Le point $(1\, ; 0)$ noté $I$ est l'extrémité du vecteur $\vec{\imath}$ lorsque l'origine est $O$ donc ses coordonnées sont déjà calculées dans la réponse à la question 2, il s'agit de celles du vecteur $\vec{\imath}$ . De même les coordonnées du point $(0\, ; 1)$ noté $J$ sont celles du vecteur $\vec{\jmath}$ .

Ci-dessous, nous modifions la grille pour qu'elle corresponde à la nouvelle base. Et en jaune nous explicitons les coordonnées du vecteur $\vec{\imath}$ suivant cette nouvelle base. Les projections suivant les nouveaux axes ne sont pas orthogonales à l'arrivée, mais elles sont toujours des projections parrallèlement à une droite donnée.

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Question 4 - Equations des axes suivant le repère.

Dans l'ancien repère l'axe $(O\vec{\imath})$ est la droite d'équation $(y=0)$ . Dans le nouveau repère constitué du même point $O$ et des nouveaux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ on suppose que son équation est paramétrée par les deux réels $m$ et $\lambda$ par la relation : \[ \forall X, Y \in \mathbb{R} \quad Y=mX+\lambda \] La méthode consiste à utiliser deux points appartenant à l'axe qui sont $O$ et $J$ . Comme $O$ ne change pas de coordonnées alors, en remplaçant $X$ et $Y$ par zéro on trouve que $\lambda$ est nul. Puis $I$ appartient à cet axe, on remplace $X$ et $Y$ par ses nouvelles coordonnées pour trouver $m$ : \[ \frac{2}{3} = m \times \left( -\frac{1}{3} \right) \] Le coefficient $m$ vaut -2. Le même procédé permet de trouver un coefficient directeur égal à -1/2 et une ordonnée à l'origine nulle pour l'axe $(O\vec{\jmath})$ .

Question 5 - Equation d'une droite dans le nouveau repère.

Dans l'ancienne base

Le coefficient directeur se calcule en posant le taux d'accroissement entre $A$ et $B$ : \[ m = \frac{y_A-y_B}{x_A-x_B} = \frac{3-2}{6-2} = \frac{1}{4} \] Puis on utilise par exemple l'appartenance de $B$ à la droite pour en déduire l'ordonnée à l'origine : \[ y_B = m x_B + \lambda \] et on obtient : $ \lambda = 3/2 $ .

Dans la nouvelle base

Diverses approches sont possibles. Nous proposons celle qui passe par le calcul des nouvelles coordonnées de $A$ et $B$. Pour cela on cherche les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : \[ \overrightarrow{OA} = 6 \vec{\imath} + 3 \vec{\jmath} = 3  (2 \vec{\imath} + \vec{\jmath}) = 3 \vec{v} \] De même on trouve que : \[ \vec{u}+\vec{v} = 3 (\vec{\imath}+\vec{\jmath}) \] et comme $\overrightarrow{OB}$ correspond à 2 fois le vecteur $(\vec{\imath}+\vec{\jmath})$ on en déduit qu'il vaut les deux tiers du vecteur somme $(\vec{u}+\vec{v})$ . D'où les coordonnées dans la nouvelles base: \[ A(0\, ; 3) \qquad B\left( \frac{2}{3}\, ; \frac{1}{3} \right) \] L'appartenance de $A$ à la droite donne directement l'ordonnée à l'origine puisque c'est $A$ qui correspond à ce point dans le nouveau repère. Et on trouve $m$ avec l'appartenance de $B$ : \[ \lambda = 3 \qquad m = -\frac{7}{2} \] La droite représentait une fonction linéaire dans l'ancienne base, ici elle est affine. Mais elle reste droite, car les caractéristiques géométriques restent inchangées.  Ci-dessous nous représentons en vert la droite $(AB)$ et l'on remarquera que $(OA)$ correspond à l'axe des ordonnées (pour le nouveau repère) . Il est intéressant de positionner le point qui est d'abscisse 1 dans la nouvelle base, il suffit de se déplacer à partir de $A$ suivant $\vec{u}$ puis suivant $-7\vec{v}/2$ .

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Question 6 - Invariance de certaines propriétés par changement de base.

Tout d'abord remarquons que deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires. On a en fait une seule question à se poser : montrer que la colinéarité est conservée lors d'un changement de base. C'est une évidence. Prenons seulement l'exemple de l'exercice entre les deux bases $(\vec{\imath}\, ; \vec{\jmath})$ et $(\vec{u}\, ; \vec{v})$ . Soit deux vecteurs $\vec{p}$ et $\vec{q}$ qui sont colinéaires du point de vue de l'ancienne base. On sait qu'il existe un nombre $k$ tel que : \[ \vec{p} = k \vec{q} \] On remarquera au passage que la base n'intervient pas dans cette relation, c'est intrinsèque aux deux vecteurs $\vec{p}$ et $\vec{q}$ mais pour s'en convaincre prenons les coordonnées de chacun des vecteurs, on suppose qu'il s'agit de $p_1$ et $p_2$ pour $\vec{p}$ et $q_1$ et $q_2$ pour $\vec{q}$ dans l'ancienne base. C'est-à-dire : \[ \begin{align*} \vec{p} & = p_1 \vec{\imath} + p_2 \vec{\jmath} \\ \vec{q} & = q_1 \vec{\imath} + q_2 \vec{\jmath} \end{align*} \] Le changement de base permet d'écrire le vecteur $\vec{p}$ suivant la nouvelle base : \[ \vec{p} = \frac{-p_1+2p_2}{3} \vec{u} + \frac{2p_1-p_2}{3} \vec{v} \] La colinéarité donne les deux égalités $(p_1=kq_1)$ et $(p_2=kq_2)$ dès le départ. Ce qui donne: \[ \frac{-p_1+2p_2}{3} \vec{u} + \frac{2p_1-p_2}{3} \vec{v} = k \frac{-q_1+2q_2}{3} \vec{u} + k \frac{2q_1-q_2}{3} \vec{v} \] Le membre de gauche de cette dernière égalité est le vecteur $\vec{p}$ exprimé dans la nouvelle base et le membre de droite est $k$ fois le vecteur $\vec{q}$ exprimé dans la nouvelle base. La proportionnalité s'exprime avec le même coefficient $k$ dans l'ancienne et la nouvelle base.

Solution

Question 1 - Relation entre les angles.

Dans le cours, en notant par $\alpha$ et $\beta$ les deux angles, qu'on qualifie de supplémentaires car leur somme vaut un demi-tour, nous avons déjà établi 4 angles particuliers. On effectue le calcul en se servant uniquement de l'idée qu'un angle désigne un écart entre deux droites et suivant des sens bien précis: \[ (\widehat{\vec{u}\, ; -\vec{u}}) = \alpha + \beta = (\widehat{\vec{v}\, ; -\vec{v}}) \qquad (\widehat{\vec{v}\, ; -\vec{u}}) = 2 \beta + \alpha \]

Question 2 - Combinaisons possibles à partir de 4 vecteurs.

A partir des 4 vecteurs $\vec{u}, \vec{v}, -\vec{u}, -\vec{v}$ on peut former 16 couples. En effet, un couple est la donnée d'un premier élément puis d'un deuxième et l'ordre d'apparition compte. Pour le choix du premier élément on peut prendre parmi les 4 vecteurs. Et à chacun de ces choix il existe les 4 mêmes possibilités pour le deuxième élément du couple. Et $(4 \times 4=16)$ donne le résultat. On le représente sous forme de tableau, pour chaque ligne le premier élément et pour chaque colonne le deuxième: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \\ & \vec{u} & \vec{v} & -\vec{u} & -\vec{v} \\ \hline \\ \vec{u} & 0 & \alpha & \alpha+\beta & 2\alpha+\beta \\ \hline \\ \vec{v} & 2\beta+\alpha & 0 & \beta & \alpha+\beta \\ \hline \\ -\vec{u} & \alpha+\beta & 2 \alpha+\beta & 0 & \alpha \\ \hline \\ -\vec{v} & \beta & \alpha+ \beta & 2\beta+\alpha & 0 \\ \hline \end{array} \]

Question 3 - Angle multiple d'un autre.

Cas d'un angle de 45 degrés.

Le vecteur $\vec{v}$ dirige la bissectrice des deux axes du repère. Elle coupe donc l'angle droit en deux. Et l'angle droit est la moitié de l'angle plat $\displaystyle (\widehat{\vec{u}\, ; -\vec{u}})$ . L'angle $\alpha$ représente un quart de l'angle plat qui est la somme $(\alpha+\beta)$ . D'où le résultat : \[ \alpha = \frac{1}{3} \beta \]

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Cas d'égalité $(k=1)$

Pour que l'on ait $(\alpha=\beta)$ il faut que les deux vecteurs forment un angle droit. Puisque $\vec{v}$ est fixe, on tourne $\vec{u}$ vers la droite jusqu'à ce qu'il dirige l'autre bissectrice du repère, celle d'équation $(y=-x)$ . Les coordonnées entières de $\vec{u}$ sont par exemple (il y a plusieurs possibilités) : $(1\, ; -1)$ .

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Cas $(k=2)$

On rappelle que la somme $(\alpha+\beta)$ est l'angle plat, c'est-à-dire 180 degrés. Si $\alpha$ vaut la moitié de $\beta$ alors il vaut le tiers de leur somme. Ainsi les deux vecteurs forment un angle de 60 degrés. Nous modifions alors la direction de $\vec{v}$, la solution est proposée dans le cours par la suite sur les angles de référence. Le résultat est : \[ \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \]

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Cas $(k=5)$

L'égalité donne $\alpha$ comme étant le sixième de la somme. Il s'agit ici de l'angle de 30 degrés, lui aussi étudié en détail dans le cours. On modifie l'angle $\vec{v}$ en lui offrant les coordonnées $(2\, ; 1)$ .

Situations impossibles

Si vous avez chercher pour les nombres $k$ valant 4 et 6 vous constaterez qu'il n'y a pas d'exemples possibles. On le montre d'abord qu'il n'est pas possible d'avoir des coordonnées entières pour $\vec{v}$ . Et ce résultat implique l'impossibilité de l'avoir aussi pour $\vec{u}$ . Mais la démonstration nécessite des connaissances en trigonométrie. La démarche consiste à calculer le coefficient directeur de la droite portée par $\vec{v}$ lorsque l'angle vaut un cinquième de l'angle plat, soit 36 degrés. En radian il s'agit de $\pi/5$ , le coefficient directeur vaut la tangente de cet angle : \[ \tan \frac{\pi}{5} = \sqrt{ 5-2\sqrt{5} } \] Si $\vec{v}$ peut avoir des coordonnées entières alors il existe un point sur la droite d'équation $(y=mx)$ de coordonnées entières $(p,q)$ où $m$ vaut la tangente en question. Ce nombre serait alors une fraction rationnelle, ce qui est faux. De même pour le cas $(k=6)$ il s'agit du nombre $ \tan (\pi/7) $ plus difficile à calculer, mais n'est pas rationnel.

Solution

Question A1 - Calcul du vecteur $\overrightarrow{AM_n}$ et de sa norme.

L'abscisse du vecteur vaut : \[ x_{M_n} - x_A \] et son ordonnée est \[ y_{M_n}-y_A \] On a le résultat: \[ \overrightarrow{AM_n} \; \begin{pmatrix} n-7 \\ \frac{2n}{3}+2 \end{pmatrix} \] Le carré de sa norme est donnée par la formule : \[ AM_n^2 = (n-7)^2 + \left( \frac{2n}{3} +2 \right) ^2 \] Ce qui donne: \[ AM_n^2 = 13 \, \left( \frac{n}{3} \right)^2 - 34 \, \left( \frac{n}{3} \right) + 53 \]

Question A2 - Tableau de valeurs

L'idéal si le calcul se fait à la main est d'écrire $AM_n^2$ uniquement avec des entiers en sortant le dénominateur commun : \[ AM_n^2 = \frac{1}{9} (13n^2-102n+477) \] Le tableau est le suivant : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \\ AM_n^2 & 53 & \frac{388}{9} & \frac{325}{3} & 32 & \frac{277}{5} & \frac{252}{9} & 37 \\ \hline \end{array} \] Il est utile de vérifier les valeurs approchées, cela permet de prendre conscience d'une décroissance suivi d'une croissance des valeurs. La suite des questions consiste à mettre en évidence l'endroit du changement de direction et le lien entre ces longueurs. De plus, il faut toujours conservé à l'esprit que le dessin en préambule doit être complété au fur et à mesure, cela permet de garder un point de vue géométrique, le plus naturel qui soit.

Question A3 - Suite liée à la norme

La suite $u$ représente un dixième du carré de la longueur $AM$ . D'après la question 2, on remarque qu'il s'agit de la restriction aux entiers de la fonction: \[ x \mapsto \frac{1}{90} (13 x^2 - 102 x + 477) \] Le graphe de la fonction est le suivant:

Pour ce qui est de sa restriction aux entiers, on les représente sous forme de bâtonnets:

Question A4 - Propriétés de la suite

La différence vaut: \[ u_{n+1}-u_{n} = \frac{1}{90} (26n-89) \] Elle est de type affine et assez proche de l'expression $(3n-1)$

(a) Croissance

C'est un résultat qu'on lit sur la différence. Soit $n$ un entier, on a l'équivalence: \[ u_{n+1}-u_n \geq 0  \iff n \geq \frac{89}{26} \] Or la fraction trouvée vaut environ $3.4$ et le premier entier à être plus grand que ce nombre est 4. L'équivalence s'écrit alors en remplaçant cette fraction par 4. On en déduit que $u$ est croissante si et seulement si $n$ est plus grand que 4.

(b) Limite et minorant

Le calcul de la limite d'un polynôme consiste à vérifier la limite du terme de plus haut degré. Pour en arriver à une telle propriété on peut écrire  : \[ u_n = \frac{n^2}{90} \left( 13 + \frac{102}{n} + \frac{477}{n^2} \right) \] On commence par analyser l'expression, il s'agit d'un produit. Le premier facteur $\displaystyle \frac{n^2}{90}$ a pour limite $+ \infty$ . Quant au second, il s'agit d'une somme. On calcule la limite de ses trois termes: \[ \lim 13 = 13 \qquad \lim \frac{102}{n} = 0 \qquad \lim \frac{477}{n^2} = 0 \] On additionne les 3 limites car elles sont toutes finies, on trouve 13. Et on multiplie avec la première. Il s'agit d'une forme: \[ + \infty \times 13 \] On multiplie l'infini positif par un nombre strictement positif, cela donne: \[ \lim u = + \infty \] On trouvait directement le résultat en observant le terme de plus haut degré: \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{13}{90} n^2 = +\infty \] Puisque $u$ est croissante à partir de $(n=4)$ alors: \[ \forall n \geq 4 \quad u_n \geq u_4 \] Tous les termes sont plus grands que le précédent, et le plus petit est le premier à partir duquel il y a croissance, c'est-à-dire $u_4$ . Ainsi la famille infinie: \[ \{u_4\, ; u_5\, ; u_6 \,; \ldots \} \]  admet un minorant qui est $u_4$ . Il reste les quatre termes: \[ \{ u_0\, ; u_1\, ; u_2\, ; u_3 \} \] Puisqu'ils sont en nombre fini, il est inutile de les étudier, la famille est nécessairement minorée. Il y a toujours un minimum pour un nombre fini de termes. En particulier, on remarque : \[ u_{n+1}-u_n <0 \iff 0 \leq n \leq 3 \] La suite $u$ est strictement décroissante sur les quatre premiers termes. Le minorant sur cette partie est donc $u_3$ . Une comparaison indique : \[ u_4-u_3=\frac{1}{90} (26\times 3-90) < 0 \] Le minimum de la suite est $u_4$

(c) Suite à indices négatifs

Le terme $u_n$ est lié au point $M_n$ qui est le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ associé à l'abscisse $n$ . Rien n'empêche de définir le point $M_n$ et donc le terme $u_n$ aux abscisses entières négatives, et même aux rationnels, ou aux réels. Ce qui dans ce dernier cas revient juste à écrire: $u_x=f(x)$ . On développe $u_{7-n}$ et on trouve: \[ \forall n \in \mathbb{Z} \quad u{7-n} -u_n = 22n-77 \] Si l'on rajoute la condition $(n<4)$ cette quantité est strictement négative. D'où: \[ \forall n<4 \quad u_{7-n} < u_n \] Cette inégalité se traduit par le dessin suivant:

De même : \[ u_{8-n} - u_n = -4n+16 \] qui est strictement positive lorsque $(n<4)$ et dont la représentation géométrique est la suivante :

Fin de la question 4

Solution

Question A5 - Une base adaptée au problème.

Le dessin a été proposé dans la correction de la question A2. Nous le proposons ici avec une grille de taille 1 pour les cases.

(a) Base

On a montré dans le cours que tout couple de vecteurs non colinéaires forment une base du plan. Cela se traduit par la formule: \[ \det \left( \vec{u} \, ; \vec{w} \right) \neq 0 \] pour deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$ . On tient compte ici de $\overrightarrow{M_0A}$ et $\overrightarrow{M_0M_1}$ qui vérifient bien la condition de non colinéarité, on exprime leur déterminant pour le prouver, sachant que les coordonnées sont les suivantes: \[ \overrightarrow{M_0A} \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{M_0M_1} \begin{pmatrix} 1 \\ 2/3 \end{pmatrix} \] D'où le résultat: \[ \det \left( \overrightarrow{M_0A}\, ; \overrightarrow{M_0M_1} \right) = 7 \times \frac{2}{3} - (-2+1) = \frac{20}{3} \]

(b) Décomposition

En règle générale, une décomposition utilise la relation de Chasles. Elle consiste entre autres à introduire un point, pour savoir lequel il suffit de faire un dessin:

Nous écrivons $\overrightarrow{AM_n}$ en introduisant $M_0$ : \[ \overrightarrow{AM_n} = \overrightarrow{AM_0} + \overrightarrow{M_0M_n} \] On obtient une somme dont le premier élément est un vecteur de la base, il n'y a plus besoin de le modifier si ce n'est de préciser que le sens est opposé à celui de la base: \[ \overrightarrow{AM_0} = -1 \times \overrightarrow{M_0A} \] Ainsi la première coordonnée sera $-1$ . Pour la seconde, nous remarquons que les points $M$ sont placés sur une droite et à des abscisses entières, une application directe du théorème de Thalès donne: \[ \frac{M_0M_1}{M_0M_n} = \frac{1}{n} \] La seconde coordonnée est $n$ : \[ \overrightarrow{AM_n} = (-1) \, \overrightarrow{M_0A} + (n) \overrightarrow{M_0M_1} \] Ceci est valable pour tout entier relatif $n$ .

(c) Calcul de norme et du produit scalaire

Le calcul des normes se fait avec les coordonnées: \[ M_0A = \sqrt{ 7^2 + (-2)^2} = \sqrt{53} \approx 7.28 \] De même pour $M_0M_1$ : \[ M_0M_1 = \sqrt{ 1^2 + \left( \frac{2}{3} \right) ^2 } = \frac{1}{3} \, \sqrt{13} \approx 1.20 \] Le produit scalaire se calcule facilement lorsque les coordonnées sont connues: \[ \left\langle \overrightarrow{M_0A} \; | \overrightarrow{M_0M_1} \right\rangle = 7 \times 1 + (-2) \times \frac{2}{3} = \frac{17}{3} \approx 5.67 \] Si les deux vecteurs étaient colinéaires, le produit scalaire vaudrait le produit des normes, soit : \[ \sqrt{53} \times \frac{1}{3} \times \sqrt{13} \approx 8.79 \]

Question A6 - Encadrement de l'angle $\gamma$

Les formules sont montrées dans le chapitre 7 intitulé "Trigonométrie" : \[ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \qquad \cos \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \]

(a) Duplication de l'angle

L'angle $\pi/3$ est le double de $\pi/6$ . Le premier vaut $60^\circ$ et le second $30^\circ$ . Et l'on a montré la formule dite de duplication de l'angle: \[ \cos^2 \theta = \frac{\cos (2\theta) + 1}{2} \] Nous noterons à présent $\displaystyle a=\frac{\sqrt{3}}{2}$ et la formule sera utilisée sous la forme : \[ \cos \theta = \sqrt{ \frac{x+1}{2}} \] où $x$ est le nombre $\cos (2\theta)$ .

(b) Suite d'angles

L'angle $\pi/12$ ( $15^\circ$ en degrés) est la moitié de $\pi/6$ d'où: \[ \cos \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{2}} \] avec le nombre $a$ défini à la question précédente. Puis l'angle $\pi/24$ ( $7^\circ 30'$ en degrés et minutes) est la moitié de $\pi/12$ avec la même formule, on remplace $x$ par le résultat trouvé pour $\cos (\pi/12)$ et cela donne: \[ \cos \frac{\pi}{24} = \sqrt{ \frac{\displaystyle \frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{2}} +1}{2}} \] On simplifie l'expression en faisant apparaître le numérateur et dénominateur, sous forme de racines carrées: \[ \frac{ \sqrt{\sqrt{a+1}+\sqrt{2}}}{\sqrt{2 \sqrt{2}}} \] Puis l'angle $\pi/48$ qui vaut 3 degrés et 45 minutes est la moitié de $\pi/24$ . La formule donne: \[ \cos \frac{\pi}{48} = \frac{ \sqrt{\sqrt{\sqrt{a+1}+\sqrt{2}}+\sqrt{2\sqrt{2}}}}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}} \] On enchaîne de la même manière pour les deux angles suivants: \[ \cos \frac{\pi}{96} = \frac{ \sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{a+1}+\sqrt{2}}+\sqrt{2\sqrt{2}}} + \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}} }{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}}} \] cet angle vaut $1^\circ 52' 30''$ . Le dernier angle $\pi/192$ en est la moitié, c'est-à-dire 56 minutes d'arc et 15 secondes. Presque 1 degré (qui vaut 60 minutes d'arc) et son cosinus est donné par: \[ \cos \frac{\pi}{192} =  \frac{ \sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{a+1}+\sqrt{2}}+\sqrt{2\sqrt{2}}} + \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}} + \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}} }}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}}}} \] Le cosinus de l'angle nul vaut 1, et celui de $\pi/192$ en est proche, il vaut environ $0.999 866$ . En découpant l'angle $\pi$ en 192 parties nous obtenons le demi-disque et ses parties suivantes:

(c) Encadrement

Nous n'avons pas d'information sur l'angle $\gamma_0$ sauf son cosinus, puisqu'il apparaît dans le calcul du produit scalaire de la question  5(c) : \[ \left\langle \overrightarrow{M_0A} \, | \overrightarrow{M_0M_1} \right\rangle = \frac{17}{3} \] Dans le chapitre "Produit scalaire" nous montrons aussi la formule : \[ \left\langle \overrightarrow{M_0A} \, | \overrightarrow{M_0M_1} \right\rangle = M_0A \times M_0M_1 \times \cos \gamma_0 \] D'où le résultat exact: \[ \cos \gamma_0 = \frac{17}{\sqrt{13}\sqrt{53}} \] Ce nombre vaut environ $0.648$ et nous allons calculer les cosinus des angles: \[ \cos \left( p \frac{\pi}{192} \right) \] pour l'entier $p$ variant de 0 à 192. Une propriété de cette suite est sa stricte décroissance. Le maximum est en $(p=0)$ et il s'agit du cosinus de l'angle nul, qui vaut 1. Et son minimum est le dernier terme, qui est négatif. Ainsi il existe un entier $p_0$ tel que : \[ \cos \left( p_0 \frac{\pi}{192} \right) > \cos \gamma_0 > \cos \left( (p_0+1) \frac{\pi}{192} \right) \] Plutôt que de tout calculer, utilisons la fonction arc-cosinus sur la calculatrice qui à partir d'un cosinus, donne l'angle qui lui correspond entre $0$ et $\pi$ . On trouve: \[ \gamma_0 \approx 0.866 \, \text{rad} \] En divisant cet angle par $\pi/192$ on trouve: \[ \frac{\gamma_0}{\pi/192} \approx 52.945 \] On prend alors $p_0=52$ et on vérifie que les cosinus sont rangés dans l'ordre recherché: \[ \cos \left( 52 \times \frac{\pi}{192} \right) \approx 0.659346 \] Puis l'angle suivant: \[ \cos \left( 53 \times \frac{\pi}{192} \right) \approx 0.646956 \] On constate l'encadrement sachant que: \[ \cos \gamma_0 \approx 0.647648 \] Et il est plus proche de l'angle $53\pi/192$ . Cela correspond environ à un angle compris entre 49 degrés et 50. On met en évidence ci-dessous les secteurs concernés en rouge, le 52ème et le 53ème:

Question A7 - Suite d'angles $\gamma$ .

(a) Suite à deux valeurs

Le vecteur $\overrightarrow{M_0M_n}$ est colinéaire à $\overrightarrow{M_0M_1}$ donc l'angle $\gamma_n$ est soit identique à $\gamma_0$ soit il vaut un demi-tour en plus. On a: \[ \forall n \in \mathbb{Z} \qquad \overrightarrow{M_0M_n} = n \overrightarrow{M_0M_1} \] Ainsi pour les entiers positifs, le sens est le même. D'où: \[ \forall n \in \mathbb{N} \qquad \gamma_n = \gamma_0 \] Pour les entiers relatifs strictement négatifs il s'agit de l'opposé. Ainsi on peut décomposer l'angle: \[ \gamma_n = (\overrightarrow{M_0A}\, ; \overrightarrow{M_0M_1}) + \pi \] où $\pi$ représente le tour effectué $(\overrightarrow{M_0M_1}\, ; \overrightarrow{M_0M_n}) $ D'où: \[ \forall n <0 \qquad \gamma_n = \gamma_0 + \pi \] On en déduit le cosinus qui est opposé pour un angle et l'autre: \[ \forall n \in \mathbb{Z}\setminus \{0\} \qquad \cos (\gamma_n) = \frac{n}{|n|} \cos (\gamma_0) \] cette façon de présenter permet de tout réunir sous une seule formule.

(b) La suite $p$

La suite $p$ est constante pour $n$ entier naturel est vaut $p_0$ soit 52. Si $(n<0)$ il s'agit de l'angle $(\gamma_0+\pi)$ . L'encadrement est le suivant: \[ p_0 \, \frac{\pi}{192} + \pi \leq \gamma_0+\pi \leq (p_0+1) \, \frac{\pi}{192} + \pi \] En factorisant les deux membres aux extrêmes par $\pi/192$ on trouve: \[ \forall n<0 \qquad p_n = 192 + 52 = 244 \]

Fin de la question A7

Solution

Question A8 - Etude détaillée de l'angle $\alpha$ .

(a) Produit scalaire

Rappelons le calcul du produit scalaire pour deux vecteurs $\vec{u}$ de coordonnées $(x\, ; y)$ et $\vec{w}$ de coordonnées $(x'\, ; y')$ : \[ \langle \vec{u} \, | \vec{w} \rangle = xx'+yy' \] L'expression de ce produit scalaire montre que l'opération est symétrique: \[ \langle \vec{u} \, | \vec{w} \rangle = \langle \vec{w} \, | \vec{u} \rangle \] Ainsi les vecteurs peuvent être permutés cela ne change rien au résultat. De plus l'opération est homogène: \[ \langle \lambda\vec{u} \, | \vec{w} \rangle = \lambda \langle \vec{u} \, | \vec{w} \rangle \] Cela suivant la première comme la seconde variable, la preuve est immédiate. Enfin, l'opération est linéaire suivant la première variable: \[ \langle (\vec{u}+\vec{v}) \, | \vec{w} \rangle = \langle \vec{u} \, | \vec{w} \rangle + \langle \vec{v} \, | \vec{w} \rangle \] Par symétrie, l'opération est aussi linéaire suivant la seconde variable. Ainsi nous pouvons écrire en utilisant l'argument de symétrie: \[ \left\langle \overrightarrow{AM_n} \, | \overrightarrow{AM_0} \right\rangle = \left\langle \overrightarrow{AM_0} \, | \overrightarrow{AM_n} \right\rangle \] Puis avec $\overrightarrow{AM_0}=\overrightarrow{M_0A}$ et $\overrightarrow{AM_n}=\overrightarrow{AM_0} + n \overrightarrow{M_0M_1}$ on trouve: \[ \left\langle \overrightarrow{AM_n} \, | \overrightarrow{AM_0} \right\rangle = \left\langle \overrightarrow{M_0A} \, | \overrightarrow{M_0A} \right\rangle - n \left\langle \overrightarrow{M_0A} \, | \overrightarrow{M_0M_1} \right\rangle \] Le produit scalaire d'un vecteur par lui-même vaut le carré de sa norme. On simplifie en reliant les deux produits scalaires demandés en écrivant: \[ \left\langle \overrightarrow{AM_n} \, | \overrightarrow{AM_0} \right\rangle = M_0A^2 - n \left\langle \overrightarrow{M_0A} \, | \overrightarrow{M_0M_1} \right\rangle \] On peut voir ce produit scalaire comme une fonction de $n$ décroissante, dont le maximum est atteint en $(n=0)$ . On représente ci-dessous le configuration pour $(n=6)$ :

(b) Suite de cosinus

En utilisant la définition de l'angle $\alpha_n$ nous pouvons aussi exprimer le produit scalaire ainsi: \[ \left\langle \overrightarrow{AM_n} \, | \overrightarrow{AM_0} \right\rangle = AM_n \times AM_0 \times \cos \alpha_n \] Connaissant les valeurs de ces longueurs et la valeur du produit scalaire, on trouve: \[ \cos \alpha_n = \frac{1}{\sqrt{53}\sqrt{13n^2-102n+477}} \, (-17n+159) \] valable pour tout entier relatif $n$ . Une calculatrice permet d'afficher la courbe $(x \mapsto cos \alpha_x)$:

(c) Suite $r$

Il s'agit de trouver un entier $r_n$ permettant d'encadrer l'angle $\alpha_n$ entre deux secteurs multiples de l'angle de référence $\pi/192$ . Nous avons illustré ce problème pour les questions A6 et A7. La difficulté est qu'ici l'angle $\alpha_n$ évolue d'une manière difficile à cerner. Cela revient à résoudre pour tout entier $r$ compris entre 0 et 192 à priori, les inéquations : \[ \cos \frac{\pi r}{192} \geq \cos \alpha_n \] en la variable $n$ . On peut y aboutir en utilisant une machine que l'on programme.

Observons les premiers termes de la suite $\alpha$ : \[ \cos \alpha_0 = 1 \Rightarrow \alpha_0 = 0 \] C'est le cas lorsque $M_n$ vaut $M_0$ , le triangle $AM_0M_n$ étudié est plat. L'entier $r_0$ peut valoir 0 ou -1 au choix. Puis: \[ \cos \alpha_1 = \frac{71}{\sqrt{53}\sqrt{97}} \] Ce qui donne un cosinus proche de $0.990227$ à $10^{-6}$ près. Avec la fonction arc-cosinus, nous trouvons que $\alpha_1$ vaut $0.1399$ radians environ et donc son rapport avec l'angle $\pi/192$ donne $8.55$ . Ce qui signifie qu'on peut poser $r_1=8$ . L'opération est toujours la même, on cherche une valeur approchée du cosinus de $\alpha_n$ , puis on en déduit une valeur de l'angle, que l'on divise par $\pi/192$ . Le résultat est un nombre décimal dont la partie entière donne le nombre entier $r_n$ recherché. Nous trouvons:  \[ \cos \alpha_2 = \frac{25}{\sqrt{53}\sqrt{13}} \] Ce qui donne $r_2=18$ . Commençons par dresser un tableau des premières valeurs de la suite $r$ . La formule fait intervenir l'arc-cosinus noté acos: \[ r_n = \textrm{E} \left[ \frac{192}{\pi} \times \textrm{acos} \left( \frac{-17n+159}{\sqrt{53}\sqrt{13n^2-102n+477}} \right) \right] \] où E est la fonction partie entière. D'où: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ \hline \\ r_n & 30 & 44 & 57 & 68 & 78 & 87 & 93 & 99 & 103 & 107 & 110 & 112 & 114 \\ \hline \end{array} \] Les premières valeurs sont plus éloignées que par la suite. Puis il y a un écart entre $r_n$ et son successeur qui se réduit, et nous le voyons en calculant les autres valeurs jusqu'à $r_25$ qui vaut $r_24$ : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 \\ \hline \\ r_n & 116 & 118 & 119 & 120 & 121 & 122 & 123 & 124 & 125 & 125 & 126 & 126 & 127\\ \hline \end{array} \] Les valeurs continuent de se tasser, 129 est la première valeur admise par trois termes de la suite $r$ : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 29 & 30 & 31 & 32 & 33 & 34 & 35 \\ \hline \\ r_n & 127 & 128 & 128 & 129 & 129 & 129 & 130 \\ \hline \end{array} \] Puis 35 est le premier indice pour lequel la suite $r$ atteint la valeur 130. A présent, au lieu de chercher la valeur $r_n$ pour chaque indice, nous nous limitons à indiquer à partir de quel indice la suite prend une certaine valeur: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ r_n & 130 & 131 & 132 & 133 & 134 & 135 & 136 & 137 & 138 & 139 & 140 \\ \hline \\ n & 35 & 39 & 44 & 51 & 60 & 74 & 97 & 142 & 272 & 5086 &  \\ \hline \end{array} \] On montre qu'à partir de 139 la suite $r$ est stationnaire. Ce que nous expliquons après.

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Il reste à étudier $r$ pour les indices négatifs. Nous laissons de côté pour l'instant cette partie de l'étude.

(d) Limites

Commençons par $\alpha_n$ . En développant son expression, pour séparer les termes suivant leur comportement en l'infini: \[ \cos \alpha_n = - \frac{17}{\sqrt{53}\sqrt{\displaystyle 13-\frac{102}{n}+\frac{477}{n^2}}} + \frac{159}{\sqrt{53}\sqrt{13n^2-102n+477}} \] Dans le membre de droite, le terme de droite tend vers 0 si $n$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ Le membre de gauche tend vers : \[ - \frac{17}{\sqrt{53}\sqrt{13}} \] lorsque $n$ tend vers $+\infty$ . Ce qui correspond à l'opposé du cosinus de $\gamma_0$ . Ainsi : \[ \lim_{+\infty} \cos \alpha_n = -\cos \gamma_0 \] Pour calculer la limite en $-\infty$ on doit remarquer que le développement n'est pas valable pour $n$ négatif, car nous avons fait entrer $n$ dans la racine carrée. Mais plutôt: \[ \forall n <0 \quad \cos \alpha_n =  \frac{17}{\sqrt{53}\sqrt{\displaystyle 13-\frac{102}{n}+\frac{477}{n^2}}} + \ldots \] D'où une limite opposée, et plus précisément égale à celle de $\gamma_0$ : \[ \lim_{-\infty} \cos \alpha_n = \cos \gamma_0 \] Pour aboutir aux limites de $r$ en ses bornes, nous devons passer par celles de l'angle $\alpha$ . En $+\infty$ le cosinus de $\alpha_n$ tend vers l'opposé de celui de $\gamma_0$ . Puisque ces angles sont plus petits que $\pi$ et d'après une formule de trigonométrie liant un angle et son supplémentaire, on a: \[ \lim_{+\infty} \alpha_n = \pi - \gamma_0 \] On note cette limite $\alpha_+$ . Avec l'encadrement trouvé à la question A6, en remarquant qu'il s'agit d'inégalités strictes, nous en concluons: \[ \pi - 52 \times \frac{\pi}{192} > \alpha_+ > \pi - 53 \times \frac{\pi}{192} \] Soit le résultat: \[ 140 \times \frac{\pi}{192} > \alpha_+ > 139 \times \frac{\pi}{192} \] Or à partir de $(n=5086)$ nous avons vu que l'angle $\alpha_n$ vérifie cette inégalité. Ainsi $r$ est stationnaire à partir de ce rang, ce qui indique qu'elle admet la valeur 139 comme limite en $+\infty$ .

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En $-\infty$ la suite des cosinus tend vers celui de $\gamma_0$ . Etant donné le sens des angles, nous en déduisons la limite notée $\alpha_-$ : \[ \lim_{-\infty} \alpha_n = 2\pi - \gamma_0 \] Puis celle de $r$ s'en déduit en encadrant: \[ 2\pi - 52 \frac{\pi}{192} > \alpha_- > 2\pi - 53 \frac{\pi}{192} \] La suite $r$ décroît lorsque $n$ décroît vers $-\infty$ . Elle dépasse la valeur 332 sans jamais passer sous 331. D'où: \[ \lim_{-\infty} r_n = 332 \] Elle est aussi stationnaire, propriété que l'on montrera plus tard dans cet article.

(e) Convergence de $\alpha$

Nous avons prouvé la convergence de $\alpha$ dans la question précédente. Nous donnons les valeurs approchées des limites: \[ \alpha_+ \approx 2.27529 \, \textrm{rad} \quad (130°21'52'') \] Le résultat en minutes et secondes d'arc se fait suivant une procédure classique. On récupère la partie décimale en degrés, qu'on multiplie par 60, la partie entière du résultat donne les minutes, le reste décimal est multiplié par 60, la partie entière du nouveau résultat donne les secondes d'arc. De même: \[ \alpha_- = \pi + \alpha_+ \]

Quant aux cosinus, leurs valeurs approchées sont les suivantes: \[ \cos \alpha_+ = -0.648 \qquad \cos \alpha_- = - \cos \alpha_+ \] Ci-dessous, une partie de la courbe $(x \mapsto \cos \alpha_x)$ sur l'intervalle $[0\, ; 40]$ . On a volontairement réduit les dimensions en abscisses, ainsi 1 unité en ordonnée correspond à 4 en abscisse. On repère le maximum en $(x=0)$ ce qui correspond à un angle nul puisque $M_x$ se confond avec $M_0$ . Puis, nous pouvons ajouter l'observation d'un point pour lequel le cosinus s'annule, c'est la caractéristique d'un angle droit qui se produit lorsque $x$ vaut 159/17, soit environ 9.35. Le point est situé sur le segment $[M_9\,  M_{10}]$ . La courbe est strictement décroissante et tend vers le cosinus de l'angle limite $\alpha_+$ .

Nous donnons l'aspect de la courbe en tenant compte des angles $\alpha_n$ pour $n$ négatif. Le maximum reste en $M_0$ , seul point où le cosinus vaut 1. La fonction tend vers le cosinus de l'autre angle limite $\alpha_-$ quand $x$ tend vers $-\infty$ . Pour une meilleure observation, l'abscisse est multipliée par un facteur 0.2 et l'ordonnée par 3.

Fin de la question A8

Solution

Question A9 - Etude de l'angle $\beta$ .

(a) Calcul du cosinus

On peut étudier la suite $\beta$ en passant par celle de son cosinus comme pour les deux suites d'angles $\gamma$ et $\alpha$ . Ceci en écrivant le produit scalaire des deux vecteurs formant l'angle $\beta_n$ de deux façons. Le calcul direct donne: \[ \left\langle \overrightarrow{M_nM_0}\, | \, \overrightarrow{M_nA} \right\rangle = n(n-7) + \left( \frac{2n}{3}-1+1 \right) \left( \frac{2n}{3}+2 \right) \] Ce qui donne: $\displaystyle \frac{1}{9} (13n^2-51n) $ . Puis une autre formule donne le résultat en fonction des normes des vecteurs et du cosinus de l'angle formé: \[ M_nM_0 \times M_nA \times \cos \beta_n \] Le calcul des longueurs donne: \[ M_nM_0 = \sqrt{ n^2+\frac{4}{9} n^2} = \frac{\sqrt{13}}{3} n \] et l'on connaît déjà $M_nA$ . On trouve alors une formule ressemblante à celle du cosinus de $\alpha_n$ : \[ \cos \beta_n = \frac{1}{\sqrt{53}\sqrt{13n^2-102n+477}} (13n-51) \] Le même facteur accompagne une expression affine en la variable $n$ . A partir de là il est possible d'étudier $\beta_n$ en cherchant une suite d'entiers $s_n$ tels que: \[ s_n \frac{\pi}{192} \leq \beta_n \leq (s_n+1) \frac{\pi}{192} \] mais ce serait ne pas profiter des connaissances acquises sur les deux autres angles ainsi que de la règle: \[ \forall n > 0 \qquad \alpha_n+\gamma_n+\beta_n= \pi \] Les trois angles d'un triangle forment un angle de 180 degrés. Ci-dessous la situation pour $(n=6)$ en se rappelant que $\gamma_n$ est constant égal à $\gamma_0$ pour $n$ positif et vaut $(\gamma_0+\pi)$ si $n$ est strictement négatif :

La relation est différente si $n$ est strictement négatif, les angles sont tous extérieurs et on trouve : \[ \begin{align*} \alpha_n+\beta_n+\gamma_n & = (2\pi-\alpha)+(2\pi-\beta)+(2\pi-\gamma) \\ & = 6\pi-(\alpha+\beta+\gamma) \\ & = 5\pi \end{align*} \] où les angles $\alpha, \beta$ et $\gamma$ sont les complémentaires des angles $\alpha_n, \beta_n$ et $\gamma_n$ . On l'illustre avec l'exemple $(n=-3)$ ci-dessous :

(b) Somme des angles d'un triangle

Avec cette relation triangulaire, pour $n$ entier positif on a: \[ \beta_n = (\pi-\gamma_0) - \alpha_n \] On a volontairement mis entre parenthèse la partie constante, ainsi $\beta$ et $\alpha$ sont liées par une relation affine. Pour $n$ strictement négatif on trouve: \[ \beta_n = \gamma_0 - \alpha_n \] On peut ainsi encadrer $\beta_n$ en se servant de la suite $r$ . Le résultat pour $\gamma_0$ a été donné à la question 6c et il est le suivant: \[ 52 \frac{\pi}{192} \leq \gamma_0 \leq 53 \frac{\pi}{192} \] Puis pour $n$ positif on a montré que: \[ r_n \frac{\pi}{192} \leq \alpha_n \leq (r_n+1) \frac{\pi}{192} \] pour la suite $r$ explicitée à la question 8c. Ce qui donne avec en utilisant la relation de cette question: \[ \pi - 53 \frac{\pi}{192} - (r_n+1) \frac{\pi}{192} \leq \,  \beta_n \, \leq \pi - 52 \frac{\pi}{192} - r_n \frac{\pi}{192} \] D'où le résultat en factorisant par l'angle de référence: \[ \forall n>0 \qquad (138-r_n) \frac{\pi}{192} \leq \,  \beta_n \, \leq (139-r_n) \frac{\pi}{192} \] Se servir de cet encadrement ne suffit pas pour conclure à la convergence de la suite $\beta$ . En effet on peut au mieux préciser que les termes en l'infini seront autour des valeurs $(138-r)$ et $(139-r)$ . L'égalité de départ nous donne le résultat sur la convergence. En effet, $(\pi-\gamma_0)$ est une constante et la suite $\alpha$ converge. Donc la quantité suivante converge: \[ (\pi-\gamma_0) - \alpha_n \quad \longrightarrow \quad \pi-\gamma_0-\alpha_+ \] la limite est celle en $+\infty$ . Pour $n$ strictement négatif on rappelle que $\gamma_n$ vaut $\gamma_0$ auquel on rajoute $\pi$ , la relation triangulaire est différente du fait du choix du sens des angles, côté négatif ils sont tous extérieurs : \[ \forall n <0 \qquad \beta_n = 4\pi - \gamma_0 - \alpha_n \] Ce qui donne la limite suivante: \[ \beta_- = 4\pi-\gamma_0-\alpha_- \] On utilise le résultat de la question A8d pour conclure que : \[ \beta_+=0 \qquad \beta_-=2\pi \] En effet: $\alpha_+=\pi-\gamma_0$ et $\alpha_- = 2\pi-\gamma_0$ . Dans les cas positifs et négatifs, l'angle $\beta$ tend à être nul modulo $2\pi$ . Tout se passe comme si $M_n$ se dirigeait vers un point à la fois sur la droite $\mathcal{C}_f$ et aussi sur sa parallèle en $A$ . Ces deux droites sont pourtant distinctes.

Graphiquement, on observe l'angle $\beta$ tendre vers 0 pour $n$ se dirigeant vers $+\infty$ et vers $2\pi$ si $n$ tend vers $-\infty$ . Ci-dessus, le cas $(n=42)$ pour lequel $\beta_{42}$ vaut moins de 7 degrés et $\alpha$ à peu près 123 degrés.

Question A10 - Calcul des angles en degré.

(a) Etude de quelques termes

Reprenons la formule donnant les cosinus. On note $P(n)$ le polynôme en la variable $n$ suivant: \[ P(n) = 13n^2-102n+477 \] On écrit: \[ \cos \alpha_n = \frac{1}{\sqrt{53}\sqrt{P(n)}} (-17n+159) \] Remarquons la ressemblance avec l'expression de liée à l'angle $\beta_n$ : \[ \cos \beta_n = \frac{1}{\sqrt{13}\sqrt{P(n)}} (13n-51) \] Il suffit d'appliquer les formules, nous ajoutons à la réponse les cas $(i=1)$ et $(i=2)$ . On pense aussi à simplifier les fractions, sachant que 13 et 53 sont premiers et restent inchangés, la valeur de $P(n)$ possède un facteur dont on peut extraire une racine carrée et trouver une simplification avec le facteur affine $(-17+159)$ dans le cas de $\alpha_n$ et $(13n-51)$ : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \\ \cos \alpha_i & \frac{71}{\sqrt{53}\sqrt{97}} & \frac{25}{\sqrt{53}\sqrt{13}} & \frac{9}{\sqrt{53}\sqrt{2}} & \frac{91}{\sqrt{53}\sqrt{277}} & \frac{37}{\sqrt{53}\sqrt{73}} \\ \hline \end{array} \] Pour l'angle $\beta_n$ on trouve : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \\ \cos \beta_i & \frac{-19}{\sqrt{13}\sqrt{97}} & \frac{-5}{13} & \frac{-1}{\sqrt{13}\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{13}\sqrt{277}} & \frac{7}{\sqrt{13}\sqrt{73}} \\ \hline \end{array} \] On constatera le lien entre les dénominateurs, le facteur accompagnant la racine carrée de 53 pour $\alpha_n$ est le même que celui associé à la racine carrée de 13 pour $\beta_n$ . De plus en posant la différence: \[ -17n+159 \, - \, (13n-51) = -20n+210 \] on verra que la différence des numérateurs est un multiple de 10, y compris après simplification.

(b) Calcul d'un angle en degrés

Une fois la valeur exacte du cosinus trouvée, on applique la fonction réciproque qui est l'arc-cosinus (touche acos sur une calculatrice) et le résultat est l'angle en radians ou degrés suivant l'option choisie. Si le résultat est en radian, on multiplie par $180/\pi$ pour l'avoir en degré. On obtient un nombre décimal, la partie entière est le nombre de degrés, ce qui reste ne dépasse pas un degré. Il s'agit d'une fraction d'un degré, dont on extrait le nombre de soixantièmes parties d'un degré. En multipliant la partie décimale par 60 on trouve un autre nombre décimal dont la partie entière est le nombre de minutes d'arcs recherché. Le même procédé permet d'extraire le nombre de minutes d'arcs. Par exemple, pour $\alpha_1$ on trouve: \[ \alpha_1 = \textrm{acos} \; \left( \cos \alpha_1 \right) \times \frac{180}{\pi} = 8.017\, 093 \ldots \] en utilisant l'option radian de la calculatrice. Le résultat est un nombre décimal dont il faut choisir à quelle précision on s'arrête. Cherchons les résultats à une seconde d'arc près. Or celle-ci vaut un trois mille six centièmes de degrés et est encadrée sous forme décimale par : \[ 0.000\, 277 < \frac{1}{3600} < 0.000\, 278 \] Ce qui signifie qu'une approximation à $(3\times 10^{-4})$ n'apparaît pas sur la précision recherchée. Nous pouvons donc nous contenter de 5 chiffres après la virgule, cela suffit amplement. Pour $\alpha_1$ nous avons trouvé qu'il correspond à 8 degrés et un reste décimal, que l'on calcule: \[ 0.017\, 09 \times 60 = 1.0254 \] On en déduit qu'il y a une minute d'arc à prendre en compte et un reste que l'on calcule: \[ 0.025\, 4 \times 60 = 1.524 \] Le reste est plus proche de 2 secondes d'arcs que d'une seule mais nous cherchons la valeur par défaut, d'où : \[ \alpha_1 = 8^\circ 1' 1'' \] L'explication du calcul est le suivant: \[ A \, \textrm{rad} \equiv X^\circ Y' Z'' + R \] où $A$ est la valeur de l'angle en radians, et $X,Y,Z$ sont les trois entiers servant à l'écrire en degrés et $R$ est un reste plus petit qu'une seconde d'arcs. Si nous voulons tout écrire en degrés il suffit de multiplier $A$ par $180/\pi$ et $Y$ vaut un soixantième de degré, donc on divise $Y$ par 60, et $Z$ par 3600. D'où l'égalité: \[ A \times \frac{180}{\pi} = X + \frac{Y}{60} + \frac{Z}{3600} + R \] On sait aussi que $Y$ ne dépasse pas 60 et $Z$ ne dépasse pas 60. Le membre de gauche est donné par le calcul à la machine de l'expression : \[ \alpha_n = \textrm{acos} \; \left( \cos \alpha_n \right) \times \frac{180}{\pi} \] On trouve un nombre dont la partie entière correspond à $X$ . Il reste à sortir $Y$ en multipliant par 60 la partie décimale: \[ 60 \times \left( \frac{Y}{60} + \frac{Z}{3600} + R \right) \] On trouve un nombre dont la partie entière est $Y$ . En effet $Z$ est plus petit que 60 et $R$ plus petit qu'une seconde d'arc, soit plus faible que $1/3600$ . Il reste encore à multiplier par 60 ce qui reste: \[ 60 \times \left( \frac{Z}{60} + 60 R \right) \] La partie entière est le nombre de secondes d'arc par défaut et $3600R$ désigne le reste plus petit que 1. On donne ci-après les valeurs pour les angles $\alpha_i$ $(0<i<6)$ : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \\ \alpha_i & 8^\circ 1' 1'' & 17^\circ 44' 40'' & 29^\circ 3' 16'' & 41^\circ 19' 9'' & 53^\circ 29' 54'' \\ \hline \end{array} \] L'objectif est de vérifier à quel niveau de précision nous aboutissons en passant par l'utilisation de la fonction arc-cosinus programmée sur machine, et l'approximation faite sur la conversion en degrés. Nous appliquons la formule du cosinus pour $\beta_n$ et non la relation liant les trois angles: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \\ \beta_i & 122^\circ 20' 50'' & 112^\circ 37' 11'' & 101^\circ 18' 35'' & 89^\circ 2' 42'' & 76^\circ 51' 57'' \\ \hline \end{array} \]

(c) Erreur de précision

Pour $i$ entier positif la somme des angles vaut 180 degrés. En appliquant la formule: \[ \gamma_i = 180 - (\alpha_i+\beta_i) \] on trouve la valeur approchée de $\gamma_i$ . Pour tout $i$ de 1 à 5 on trouve la même valeur: \[ \alpha_i+\beta_i = 130^\circ 21' 51'' \] Soit en les retirant à 180 degrés: \[ \gamma_i = 49^\circ 38' 9'' \] Reprenons la valeur exacte de $\gamma_0$ qui est d'après la question 6: \[ \gamma_0 = \textrm{acos} \, \frac{17}{\sqrt{53}\sqrt{13}} \] Une valeur approchée à $10^{-10}$ près est 49.6354634269 degrés, en utilisant les minutes et secondes on trouve: \[ \gamma_0 \approx 49^\circ 38' 7'' + R \] où $R$ est le reste qui correspond à environ deux tiers d'une seconde. La valeur approchée de $\alpha_i$ et $\beta_i$ était par défaut donc la différence avec 180 donne une valeur par excès, et l'on trouve un décalage de plus d'une seconde d'arc.

Question A11 - Calcul des angles lorsque $AM$ est minimale

Il faut savoir que la notion de distance d'un point à une droite existe, elle est la plus petite distance que l'on peut former entre le point extérieur et les points de la droite. Une propriété fondamentale est que cette distance est toujours atteinte pour tout couple de point et droite donnés, de plus le point de la droite en lequel elle est atteinte forme une perpendiculaire avec le point extérieur. En somme, nous l'appelons $N$ et il correspond au point mobile $M_x$ tel que $\beta_x$ soit égal à 90 degrés. L'énoncé suppose son existence mais les questions (a) et (b) devraient être traitées après les questions (c) (d) et (e) si l'on ne connaît pas cette propriété.

(c) Parabole

Nous avons vu que $u_n= P(n)/90$ . Ainsi le graphe de la suite $u$ est une sous partie d'une parabole dont nous avons déjà tracé le graphe, elle n'admet pas de solution, ce qui correspond au fait que pour tout point $M_x$ de la courbe $\mathcal{C}_f$ la distance $AM_x$ est non nulle. Les branches sont dirigées vers le haut, il existe donc un minimum à la fonction et cela se traduit par l'existence d'un point $N$ minimisant la distance $AM_x$ .

(d) Sommet

Pour une équation de type: $ax^2+bx+c$ le sommet est donné par le quotient $\displaystyle \frac{-b}{2a}$ qu'on retrouve rapidement en posant le milieu de deux racines dans le cas où elles existent. Dans le cas du problème on trouve: \[ \frac{102/90}{2\times(13/90)} = \frac{51}{13} \] C'est l'abscisse de $N$ .

(e) Encadrement

Une valeur approchée de l'abscisse de $N$ est 3.923 et l'on en déduit qu'il est proche de $M_4$ du côté de $M_3$ : \[ N \in \left[ M_3 M_4 \right] \] Pour rappel lorsque $x$ croît l'angle $\beta_x$ décroît et vaut environ 101 degrés en $M_3$ et 89 en $M_4$ , l'angle droit est franchi entre les deux points.

(a) (b) Angles liés à $N$

On peut encadrer les trois angles : \[ \alpha_3 \leq \alpha_N \leq \alpha_4 \] sachant que la suite $\alpha$ est croissante alors que la suite $\beta$ décroît donc les inégalités sont opposées: \[ \beta_3 \geq \beta_N \geq \beta_4 \] et enfin $\gamma_x$ reste constant pour tout $x$ positif: \[ \gamma_N = \gamma_0 \] On peut préciser aussi que $\beta_N=90^\circ$ . On trouve pour $\alpha_N$ la valeur suivante: \[ \alpha_N \approx 40^\circ 21' 52'' \] avec un reste approchant un tiers d'une seconde d'arc.

fin de la question A11

Solution

Question B12 - Prouver l'existence d'un minimum par la dérivation.

L'expression de $\delta$ est donnée à la question A1: \[ \delta (x) = \frac{1}{9} (13x^2-102x+477) \] La dérivée est définie sur tout $\mathbb{R}$ et vaut: \[ \delta'(x) = \frac{26}{9} x - \frac{102}{9} \] Elle s'annule une seule fois en le point d'abscisse: \[ x = \frac{102}{26} = \frac{51}{13} \] Elle est négative avant cette abscisse et positive ensuite. Le tableau de variation est le suivant: \[ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline \\ x & -\infty & & 51/13 & & +\infty \\ \hline \\ \delta'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline \\ \delta(x) & & \searrow & m & \nearrow & \\ \hline \end{array} \] il existe un minimum pour la fonction $\delta$ noté $m$ . Cela donne un point $N$ sur la droite $\mathcal{C}_f$ réalisant un minimum pour le carré de la distance $AM_x$ . Une distance étant toujours positive, $N$ réalise le minimum de la distance $AM_x$ . Et la valeur de $\delta$ en ce point se calcule: \[ \begin{align*} m = \delta(x_N) & = \frac{1}{9} (13 \times \left( \frac{51}{13} \right) ^2-102 \times \frac{51}{13} + 477) \\ & = \frac{400}{13} \end{align*} \]

Question B13 - Calcul des cosinus lorsque le minimum est atteint.

$N$ est situé à droite de $M_0$ d'où la valeur de $\gamma$ et de son cosinus, qui sont des constantes de chaque côté de $M_0$ : \[ \cos \gamma_N = \cos \gamma_0 = \frac{17}{\sqrt{53} \sqrt{13}} \] Les formules trouvées pour les suites $\alpha$ et $\beta$ sont en fait valables pour toute abscisse $x$ réelle. Ainsi nous pouvons considérer les fonctions $\alpha$ et $\beta$ définies par: \[ \forall x \in \mathbb{R} \quad \cos \alpha(x) = \frac{-17x+159}{\sqrt{53} \sqrt{P(x)}} \qquad \cos \beta(x) = \frac{13x-51}{\sqrt{13} \sqrt{P(x)}} \] Il apparaît que $\beta(x_N)$ est nul, cela dénote un angle droit entre les droites $\mathcal{C}_f$ et $(AN)$ . Quant au cosinus de l'angle $\alpha$ en $N$ on trouve après calcul : \[ \cos \alpha(x_N) = \frac{20}{\sqrt{53}\sqrt{13}} \]

Question B14 - Racine carrée d'une fonction connue.

L'expression de $d$ est la suivante: \[ d(x) = \frac{1}{3} \sqrt{P(x)} \] On passe de $\delta$ à $d$ en extrayant la racine carrée de la première. Nous avons vu dans le chapitre 2 que la fonction racine carrée ne modifie pas le sens de variation, ni les racines d'une fonction. Tout d'abord, il est normal de retrouver le même domaine de définition, $\delta$ étant d'ailleurs strictement positive, la fonction $d$ l'est aussi. De plus, nous venons de rappeler que $d$ est décroissante jusqu'à $x_N$ puis croissante. Tandis que la courbe représentative de $\delta$ est une parabole, celle de $d$ a une forme proche de la parabole avec des branches moins tirées vers l'infini, les valeurs de $\delta$ proches de 1 resteront peu changées. Résumons:

domaine de $d$

$\mathcal{D}_d = \mathcal{D}_{\delta}=\mathbb{R}$

variation

\[ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline \\ x & -\infty & & 51/13 & & +\infty \\ \hline \\ d(x) & & \searrow & \sqrt{m} & \nearrow & \\ \hline \end{array} \]

extrema

La fonction $d$ admet un minimum et il vaut: \[ d(x_N) = AN = \frac{20}{\sqrt{13}} \] On pourra noter le rapprochement avec le cosinus de $\alpha$ : \[ \cos \alpha (x_N) = \frac{1}{\sqrt{53}} AN \]

limites

La fonction $\delta$ diverge en $-\infty$ et $+\infty$ et ses limites sont toutes deux $+\infty$ . Le passage à la racine carrée conserve ce résultat, puisque si une quantité tend vers $+\infty$ alors sa racine carrée aussi. D'où : \[ \lim_{\pm \infty} d(x) = +\infty \]

graphe

Les valeurs approchées sont: $x_N \approx 3.923$ et $AN \approx 5.547$ .

Question B15 - Tracé des deux courbes.

Nous calculons les valeurs $\delta(x)$ pour les entiers de 0 à 3 autour du minimum $x_N$ et puisque les branches tendent à ressembler à des droites, nous calculons ensuite moins de valeurs. Par exemple nous prendrons $\delta(x)$ pour $x$ valant -10 puis -5 puis -2. Cela donnera un résultat par symétrie pour les valeurs $(2x_N-x)$ pour tout $x$ calculer. Ce qui donne avec une précision de $10^{-2}$ : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ x & -10 & -5 & -2 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \\ d(x) & 17.63 & 12.07 & 9.02 & 7.88 & 6.57 & 6.01 & 5.66 \\ \hline \end{array} \] Soit le graphe suivant, sur lequel nous n'indiquons pas les points symétriques:

Question B16 - Minimum de la fonction $d$ et lieu de points.

La fonction $\delta$ s'écrit dans le cas général: \[ \delta (x) = (x-x_A)^2 + (y-y_A)^2 \] et la fonction $d$ reste sa racine carrée. On développe $\delta$ sachant que pour le terme $(y-y_A)^2$ on prend en compte la relation $(y=mx+\lambda)$ : \[ \begin{align*} (y-y_A)^2 & = y^2-2yy_A+y_A^2 \\ & = (mx+\lambda)^2-2(mx+\lambda) y_A + y_A^2 \\ & = m^2 x^2 + 2m(\lambda-y_A)x + (y_A-\lambda)^2 \end{align*} \] Ce qui donne: \[ \delta (x) = (m^2+1) \textbf{x}^2 -2[x_A+m(y_A-\lambda)] \textbf{x} + [x_A^2+(y_A-\lambda)^2] \] La fonction est un polynôme du second degré. L'objectif est de montrer qu'elle admet un minimum car par passage à la racine carrée, cela restera le cas pour la fonction $d$ . Or il suffit de voir que le terme en $x^2$ est strictement positif pour tout coefficient directeur $m$ , on en déduit que les branches sont dirigées vers le haut. Dans ce cas la parabole admet un minimum. La résolution de la question peut s'arrêter là, nous approfondissons pour donner deux cas.

Discriminant

On calcule le discriminant de $\delta(x)$ : \[ \Delta = 2^2 \left( x_A+m(y_A-\lambda) \right)^2-4(m^2+1) \left( x_A^2+(y_A-\lambda)^2 \right) \] En développant on trouve une simplification: \[ \Delta = -4 \left( mx_A -(y_A-\lambda) \right) ^2 \] Il s'agit de l'opposé d'un produit de 4 par un carré. Le discriminant est négatif en général et peut s'annuler.

Cas nul

$\Delta=0 \iff y_A = mx+\lambda$ . Ce qui se traduit par l'appartenance à la droite $\mathcal{C}_f$ . On vient de montrer que $d(A,f)$ est nul si et seulement si $A$ est situé sur la droite représentant $f$ .

Lieu des points $d(B,f)=0$

Reprenons les notations de l'énoncé, on cherche l'ensemble des points $B$ tels que $d(B,f)$ soit nul. Soit $B$ un tel point, on note $x_B$ et $y_B$ ses coordonnées qui nous sont inconnues et que nous devons chercher. La distance à $f$ est nulle est une propriété qui se traduit par \[ \exists x \quad \delta(x)=0 \] Il y a existence d'un réel $x$ tel que la fonction $\delta$ s'annule en $x$ . La mise en équation a donné l'équivalence: \[ \delta(x)=0 \iff \Delta = 0 \] On a une solution si et seulement si le discriminant est nul, car il ne peut être strictement positif. Et la réponse est alors: \[ d(B,f) = \mathcal{C}_f \] L'ensemble des points $B$ vérifiant le problème est la droite $\mathcal{C}_f$ . Nous avons fonctionner par résolution d'équation, mais le bon sens doit nous rappeler que la fonction $d$ associe à tout point du plan sa distance à la droite $\mathcal{C}_f$ , c'est-à-dire que parmi l'ensemble des points $M$ de la droite on associe la distance $BM$ la plus petite. Dire que $d(B,f)$ est nulle c'est dire qu'il existe un point $M$ tel que $BM$ soit nulle, ce qui est équivalent à l'égalité $(B=M)$ et aussi à l'appartenance de $B$ à la droite. Il est important de raisonner par équivalence quand cela est possible pour conclure sur la totalité de l'ensemble cherché.

Lieu des points $d(B,f)=1$

Il suffit de chercher quelques points sur le plan pour comprendre qu'il va s'agir de la réunion de deux droites parallèles à $\mathcal{C}_f$ distantes chacunes d'une distance égale à 1. Montrons le de manière algébrique: soit $B$ un point tel que $d(B,f)=1$ alors on a l'équation à résoudre en $x$ (passage au carré) : \[ \delta(x)=1 \] Le développement apporte un petit changement au niveau de la constante, nous avions vu dans le début de la question l'expression générale de $\delta$ , ici l'équation du second degré à résoudre sera la même sauf qu'il faut retirer 1 à la constante : \[ \delta (\textbf{x}) -1 = (m^2+1) \textbf{x}^2 -2[x_B+m(y_B-\lambda)] \textbf{x} + [x_B^2+(y_B-\lambda)^2 - 1 ] \] Plutôt que de recalculer tout le discriminant notons le précédent (lié à la distance nulle) $\Delta$ et celui-ci (lié à la distance 1) $\Delta_1$ . Alors on a pour la deux la forme: \[ \Delta = b^2-4ac \] où $a,b,c$ sont les trois coefficients dans l'équation $(\delta(x)=0)$ et : \[ \Delta_1 = b^2-4a(c-1) \] Ainsi on obtient: \[ \Delta_1 = \Delta+4a \] sachant que $a$ vaut $(m^2+1)$ on a le discriminant : \[ \Delta_1 = \Delta +4(m^2+1) \] On reconnaît la différence entre deux carrés, une identité remarquable permet de factoriser le discriminant $\Delta_1$ et d'obtenir : \[ \Delta_1 = 4 \left( y_B-mx_B-\lambda+\sqrt{m^2+1} \right) \left( -y_B+mx_B+\lambda+\sqrt{m^2+1} \right) \] A présent que l'expression est posée, raisonnons sur cet ensemble: $d(B,f)=1$ . Ceci est équivalent à dire que l'équation $\delta(x)=1$ admet au moins une solution. C'est-à-dire que $\Delta_1$ est soit nul soit strictement positif. Si le discriminant est strictement positif alors cela voudrait dire qu'il y aurait deux solutions distinctes, et c'est impossible, le minimum est atteint de manière unique car un seul point $M$ formera l'angle droit avec $B$ et la droite $\mathcal{C}_f$ . Ainsi $B$ est a une distance 1 de la droite représentative de $f$ si et seulement si $\Delta_1$ est nul. Cela est équivalent pour les coordonnées de $B$ de vérifier l'une des deux équations suivantes: \[ y_B = mx_B+\lambda-\sqrt{m^2+1} \] ou : \[ y_B=mx_B+\lambda+\sqrt{m^2+1} \] Chacune de ces équations représente une droite. Les deux droites sont parallèles à $\mathcal{C}_f$ car le coefficient directeur est le même. Elles diffèrent par l'ordonnée à l'origine. Pour $f$ il s'agit de $\lambda$ et pour les deux autres il s'agit de $\lambda$ auquel on retire ou ajoute le nombre strictement positif $\sqrt{m^2+1}$ . On remarquera qu'il s'agit de la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côté 1 et $m$ . Ci-dessous, l'exemple pour \[ m = \frac{1}{2} \qquad \lambda=-3 \] En voici le graphe: 

Question B17 - Ensemble des fonctions à une distance imposée du point $A$ .

Ici le problème est inversé, la donnée est le point $A$ et on cherche l'ensemble des fonctions $f$ telles que la distance à $A$ soit de 2. Rappelons que la distance est atteinte en un point $M$ vérifiant l'orthogonalité entre la droite $\mathcal{C}_f$ et $(AM)$ .

Si l'on trace une droite quelconque partant de $A$ et qu'on prend les deux points $M$ et $M'$ de part et d'autre de $A$ à une distance 2. Les seules fonctions $f$ possibles sont celles dont la droite représentative possède soit $M$ soit $M'$ et est perpendiculaire à $(AM)$ . Il n'y a que deux possibilités. En faisant ensuite "tourner" la première droite tirée sur $A$ , on en conclue que l'ensemble des droites possibles est l'ensemble des tangentes au cercle de centre $A$ et de rayon 2. Ci-dessous un dessin avec 13 droites, il s'agit de celles formant un angle multiple de 30 degrés, de 0 à 360, on note que le cercle se profile:

Pour finir, lorsqu'on applique une rotation de 5 degrés, soit un total de 73 droites dessinées tangentes au cercle de centre $A$ et de rayon 2:

Question B18 - Définition de la distance séparant deux fonction affines et son calcul.

Cas nul

La distance $d(f,g)$ est nulle si et seulement si il existe un point $A$ appartenant à $\mathcal{C}_f$ et un point $B$ appartenant à $\mathcal{C}_g$ tels que $AB$ soit nulle. C'est-à-dire si et seulement si les deux droites ont un point en commun. La distance $d(f,g)$ est nulle si et seulement si les deux droites sont concourantes (voire sont confondues)

Cas non nul

La distance est non nulle si et seulement si elles ne s'intersectent pas, c'est-à-dire qu'elles sont parallèles. On note $m$ le coefficient directeur commun et $\lambda$ et $\mu$ leur ordonnée à l'origine. On note $M$ le point de la droite représentant $f$ d'abscisse 0 et $P$ celui de $g$ d'abscisse 0. Enfin $N$ formant un triangle rectangle avec les deux autres de la manière suivante:

Le problème consiste à calculer la longueur $MN$ . On simplifie le problème en translatant les droites pour que $M$ corresponde à l'origine $(0,0)$ . Les nouvelles équations sont les suivantes: \[ f \; : \; y=mx \qquad g \; : \; y=mx+(\mu-\lambda) \] qu'on a trouvé par translation. $N$ est le point d'intersection entre la droite représentant $g$ et celle qui est perpendiculaire à $\mathcal{C}_f$ et passant par $M$ . On la note $\mathcal{D}$ et son équation est : \[ y=ax+b \] son coefficient $a$ vaut $(-1/m)$ par orthogonalité, lorsque $m$ est non nul. Et $b$ vaut 0 puisqu'elle passe par l'origine $M$ . Les coordonnées de $N$ vérifie donc l'équation: \[ \begin{cases} y_N & = -\frac{1}{m} x_N \\ y_N & = mx_N+(\mu-\lambda) \end{cases} \] D'où la solution: \[ x_N = \frac{m}{m^2+1} (\lambda-\mu) \qquad y_N = \frac{-1}{m^2+1} (\lambda-\mu) \] Sachant que $M$ est l'origine, alors la longueur $MN$ vaut: \[ \sqrt{x_N^2+y_N^2} = \frac{ \left| \lambda-\mu \right| }{\sqrt{m^2+1}} \]

Fin de la question B18 et fin du problème.

Solution

Utilisons une machine pour dessiner la courbe $\mathcal{C}_f$ et situer le point $A$ :

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Question 1 - Une expression du carré de la distance

$\delta$ s'annule si et seulement s'il existe un point $M$ de la courbe tel que $AM=0$ . C'est-à-dire que $A$ serait sur courbe. Ce qui n'est pas le cas. On utilise le théorème de Pythagore pour calculer $\delta(x)$ sachant les coordonnées des points $A(-1;3)$ et $M(x;y)$ : \[ \delta(x) = \left( x-(-1) \right) ^2 + (y-3)^2 \] De plus, comme $M$ fait partie de la parabole, l'ordonnée $y$ vaut $f(x)$ qu'on remplace par son expression $-x^2+2x+1$ puis on développe : \[ \delta(x) = (x+1)^2 + (-x^2+2x-2)^2 \] on change le signe à l'intérieur du deuxième terme pour obtenir $(x^2-2x+1)^2$ et on l'écrit comme étant égal à $ ( (x-1)^2 + 1 ) ^2 $ pour faciliter le calcul. D'où : \[ \delta(x) = (x^2+2x+1) + (x-1)^4 +2(x-1)^2 +1 \] On se sert de la formule : \[ (x-1)^4 = x^4-4x^3+6x^2-4x+1 \] D'où en simplifiant le résultat : \[ \delta(x) = x^4-4x^3+9x^2-6x+25 \] On pense à vérifier le résultat à l'aide de la figure pour constater s'il y a incohérence. L'idéal étant de tester les points d'abscisses $(x=-1)$ et $(x=1)$

Question 2 - Dérivations successives d'un polynôme

En répétant la dérivation sur un polynôme on finit par obtenir une fonction nulle : \[ \begin{align*} \delta'(x) & = 4x^3-12x^2+18x-6 \\ \delta"(x) & = 12x^2-24x+18 \\ \delta^{(3)}(x) & = 24x-24 \\ \delta^{(4)}(x) & = 24 \\ \delta^{(5)}(x) & = 0 \end{align*} \]

Question 3 - Racines d'un polynôme du second degré

Méthode 1 : Discriminant

L'équation : $ 12x^2-24x+18=0$ a pour discriminant : $\Delta = -288$ donc il n'y a pas de solution.

Méthode 2 : Sens de variation

La dérivée de $\delta"$ est une fonction affine d'abord négative, nulle en $(x=1)$ puis positive. Donc la fonction $\delta"$ est d'abord strictement décroissante, puis strictement croissante. Elle admet un minimum en $(x=1)$ qui vaut $(12-24+18)$ soit 6. Donc la fonction reste strictement positive, elle ne s'annule pas, il n'y a pas de racine.

Limites en l'infini

On écrit : \[ \delta'(x)=x^3 \left( 4 - \dfrac{12}{x} + \dfrac{18}{x^2} - \dfrac{6}{x^3} \right) \] Lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ la limite de l'expression entre parenthèses est 4. Donc les limites de $\delta'$ sont celles de $x^3$ : \[ \lim_{-\infty} \delta' = -\infty \qquad \lim_{+\infty} \delta' = +\infty \]

Question 4 - Tableau de variation 

Solution

Question 1 - Premiers termes

La suite $b$ est celle qui donne pour $b_n$ la somme des $n$ premiers entiers naturels non nuls. La somme commence à partir de $(k=0)$ mais il n'est pas utile, on peut écrire le sigma à partir de $(k=1)$ . Ainsi on a les premiers termes: \[ \begin{align*} b_0 & = 0 \\ b_1 & = 0 +1 \\ b_2 & = 0 + 1 + 2 \\ b_3 & = 0 + 1 + 2 + 3 \\ b_4 & = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 \end{align*} \] La formule a été vue en cours : \[ \forall n \in \mathbb{N} \qquad b_n = \frac{n(n+1)}{2} \] On donne une figure pour les points d'indice 0 à 4. Puis une autre jusqu'à 7 pour plus de lisibilité : 

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Question 2 - Calcul des aires

Le carré $\mathcal{C}_n$ a pour côté deux points successifs de la suite $B$ . La longueur se déduit directement de la définition de $b$ : \[ B_nB_{n+1} = b_{n+1} - b_n = n+1 \] L'aire $c_n$ en est le carré : \[ c_n = (n+1)^2 \] Le rectangle a pour longueur $OB_n$ qui vaut $b_n$ et on a vu sa valeur dans la question 1. La largeur est $B_nD_n$ et elle vaut l'entier $n$ . D'où : \[ r_n = \frac{n^2(n+1)}{2} \] Les premières valeurs sont données dans le tableau ci-dessous: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline \\ c_n & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36 & 49 & 64 \\ \hline \\ r_n & 0 & 1 & 6 & 18 & 40 & 75 & 126 & 196 \\ \hline \end{array} \]

Question 3 - Comparaison entre deux rectangles.

Le mieux est d'effectuer un dessin. Le grand rectangle $\mathcal{R}_{n+1}$ est constitué du rectangle $\mathcal{R}_n$ auquel on ajoute à droite le carré $\mathcal{C}_n$ et un rectangle au dessus :

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L'aire de $\mathcal{R}_n$ et celle de $\mathcal{C}_n$ sont connues. Le petit rectangle supérieur a pour longueur $A_nD_n$ c'est-à-dire $b_n$ et sa largeur vaut $A_nA_{n+1}$ , c'est-à-dire 1. D'où le résultat : \[ r_{n+1} = r_n + c_n + b_n \] On peut l'écrire en rassemblant les termes de la suite $r$ et expliciter $b_n$ : \[ r_{n+1} - r_n = c_n + \frac{n(n+1)}{2} \]

Question 4 - Somme des carrés des premiers entiers.

Collision de termes.

On part du membre de gauche qui est la somme des carrés des $n$ premiers entiers non nuls. On peut partir de $(k=1)$ au lieu de $(k=0)$ qui est inutile. Chaque $k^2$ s'écrit $c_{k-1}$ et d'après la question 3 : \[ c_{k-1} = r_k-r_{k-1} - b_k \] Il est important de comprendre les indices. Ici $k$ est un indice muet, les relations sont valables pour tout entier $k$ plus grand que 1. A partir de maintenant on somme les termes d'indices $k$ variant de 1 à $n$ : \[ \sum_{k=1}^n k^2 = \sum_{k=1}^n c_{k-1} \] et on utilise la relation précédente : \[ \sum_{k=1}^n k^2 = \sum_{k=1}^n ( r_k-r_{k-1} - b_k ) \] Si l'on développe cette dernière somme pour mieux comprendre son mécanisme, on remarque la chose suivante : \[  \sum_{k=1}^n ( r_k-r_{k-1} - b_k ) = (r_1-r_0-b_1) \, + \, (r_2-r_1-b_2) \,  + \, (r_3-r_2-b_3) \, + \ldots + \, (r_n-r_{n-1}-b_n) \] En rassemblant les termes différemment, on constate que les $r_k$ s'éliminent entre eux. Au final il reste seulement $r_n$ et la somme des termes $b_1$ à $b_n$ . Le résultat partiel est alors : \[ \sum_{k=1}^n k^2 = r_n - \sum_{k=1}^n b_k \]

Manipulation d'une expression avec $\Sigma$

La somme dans le membre de droite est avec la formule donnant $b_k$ : \[ \sum_{k=1}^n b_k = \sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2} \] On écrit le terme général à l'intérieur de la somme de la façon suivante : \[ \frac{k(k+1)}{2} = \frac{1}{2} k^2 + \frac{1}{2} k \] Il suffit de se rappeler que le symbole $\Sigma$ désigne une somme et l'associativité de l'opération $+$ permet de "casser" en deux : \[ \sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2} =  \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n k^2 \, + \,  \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n k \] Le membre de droite est une somme dont le premier terme est la moitié de ce que l'on cherche (la somme des carrés des premiers entiers) et le terme de droite est la moitié de $b_n$ .

Reprise du calcul

Cette manipulation nous a permis d'écrire : \[ \sum_{k=1}^n k^2 = r_n -\frac{1}{2} \sum_{k=1}^n k^2 - \frac{1}{2} b_n \] D'où en réunissant les deux $\Sigma$ : \[ \frac{3}{2} \sum_{k=1}^n k^2 = r_n - \frac{1}{2} b_n \] On développe le membre de droite en fonction de $n$ avec les questions 1 et 2 : \[  r_n - \frac{1}{2} b_n = \frac{n^2(n+1)}{2} - \frac{1}{2} \times \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{4} \] Il reste à diviser par 2/3 pour voir apparaître le résultat.

Question 5 - Limite d'un rapport d'aire.

Interprétation

Le nombre $r_n$ est l'aire du rectangle $A_0B_nD_nA_n$ et le $\Sigma$ représente la somme des aires des carrés de $\mathcal{C}_1$ à $\mathcal{C}_n$ . On constate que la famille des carrés est contenue dans le seul rectangle $\mathcal{R}_{n+1}$ . Le rapport étudie donc à quelle vitesse évolue l'aire du rectangle face à celle de la famille des carrés. Calculons déjà ce rapport pour un entier $n$ donné.

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Calcul

La somme des $c_k$ est celle calculée à la question 4, mais il faut prendre garde qu'ici on la calcule jusqu'à $(n+1)$ puisque $c_k=(k+1)^2$ : \[ \sum_{k=0}^n c_k = \sum_{k=0}^n (k+1)^2 \] on calcule donc le carré des $(n+1)$ premiers carrés non nuls, et il suffit de décaler l'indice $k$ d'un cran vers le haut : \[ \sum_{k=1}^{n+1} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{2} \] L'inverse de $r_n$ se déduit de la question 2 : \[ \frac{1}{r_n} = \frac{2}{n^2(n+1)} \] En développant, on trouve que le rapport vaut : \[ \frac{2n^2+7n+6}{3n^2} \]

Limite du rapport

La limite est visible puisque la fraction vaut : \[ \frac{2}{3} + \frac{7}{3n} + \frac{2}{n^2} \] En faisant tendre $n$ vers l'infini on trouve 2/3. Ce qui veut dire que plus $n$ est grand et plus la somme des carrés correspond à deux tiers du rectangle $\mathcal{R}_n$ .

Question 6 - Somme des cubes des premiers entiers.

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Le carré $\mathcal{C}'_n$ a pour aire $b_n^2$ . On utilise cette formule pour calculer la différence entre deux termes de la suite $c'$ : \[ \begin{align*} c'_{n+1}-c'_n & = b_{n+1}^2-b_n^2 \\ & = \frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4} - \frac{n^2(n+1)^2}{4} \\ & = (n+1)^2 \times \frac{ (n+2)^2-n^2 }{4} \\ & = (n+1)^3 \end{align*} \] La différence entre les deux aires est le cube de $(n+1)$ . On peut donc écrire que pour tout entier $k$ non nul : \[ k^3 = c'_k - c'_{k-1} \] En effectuant la somme pour $k$ variant de 1 à $n$ les termes $c'$ s'éliminent. Il reste : \[ \sum_{k=1}^n k^3 = c'_n - c'_0 \] Et $c'_0$ est nul. Le membre de droite de l'égalité à démontrer n'est rien d'autre que le carré de $b_n$ . Or nous avons bien vu que l'aire du carré $\mathcal{C}'_n$ que l'on a noté $c'_n$ vaut $b_n^2$ . Ceci termine la question et la partie A.

Solution

Question 1 - Famille de disques emboîtés.

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Notons $D_n$ le nom du disque de diamètre $A_0A_n$ , ce dernier vaut $n$ ce qui donne pour l'aire du disque : \[ a_n = \pi \frac{n^2}{4} \] La différence entre termes successifs est alors après simplification la suite des multiples impairs de $\pi /4$ : \[ a'_n = \frac{\pi}{4} (2n+1) \] Le nombre $a'_n$ est l'aire du disque $D_{n+1}$ auquel on a retiré celle de $D_n$ , et ce disque est inclus entièrement dans le plus grand. Ce qui signifie que la somme en question n'est rien d'autre que l'aire du plus grand des disques $D_{n+1}$ . Cela se retrouve en posant l'expression : \[ \sum_{k=0}^n a'_n = (a_1-a_0) + (a_2-a_1) + \ldots + (a_{n+1}-a_n) \] Les termes s'éliminent jusqu'à ne laisser que $(a_{n+1}-a_0)$ d'où : \[ \sum_{k=0}^n a'_n = a_{n+1} \] On donne ci-après les valeurs de $a_n$ pour les indices de 0 à 7 : \[ \{ 0\, ; \pi/4\, ; \pi\, ; 9\pi/4\, ; 4\pi\, ; 25\pi/4\, ; 9\pi\, ; 49\pi/4 \} \] Et les valeurs $a'_n$ qui progressent moins vite : \[ \{ 0\, ; 3\pi/4\, ; 5\pi/4\, ; 7\pi/4\, ; 9\pi/4\, ; 11\pi/4\, ; 13\pi/4\, ; 15\pi/4 \} \] La différence $(a_{n+1}-a_n)$ est strictement positive, et ce quelque soit l'entier $n$ , on en déduit que la suite $a$ est strictement croissante. De plus son expression montre que sa limite est $+\infty$ . On a trouvé que $a'$ est la suite des multiples impairs de $\pi/4$ . Donc elle est aussi strictement croissante et tend vers $+\infty$ . Enfin le premier rapport : \[ \frac{a_n}{a'_n} = \frac{n^2}{2n+1} = \frac{n}{2+\displaystyle \frac{1}{n}} \] tend vers $+\infty$ . En effet le numérateur tend vers cette limite et le dénominateur vers 2. Pour l'autre rapport on trouve : \[ \frac{a'_n}{a_n} = \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} \] Chacune des fractions tend vers 0, de même pour leur somme. Ceci signifie que l'aire $a$ tend vers l'infini plus vite que l'aire $a'$ . Mais pas seulement car elle pourrait finir par valoir le double, ici il s'agit d'une différence telle qu'à partir d'un certain rang l'aire $a'_n$ est négligeable devant $a_n$ .

Question 2 (a) - Les points $A_n$ sont situés sur une autre droite.

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Le disque $D_n$ a toujours le même diamètre. Son aire vaut toujours $\pi n^2/4$ . On veut connaître l'aire de la partie du disque $D_n$ située au dessus de l'axe des abscisses. Pour cela on trace le carré inscrit dans $D_n$ dont $[OA]$ est un côté. La droite $(y=-x)$ donne un diamètre au disque, la symétrie du problème est telle que le carré dessiné sépare 4 régions d'aires égales dans $D_n$ . Or ce carré est de diagonale $n$ , donc de côté $n/\sqrt{2}$ et son aire s'en déduit : $n^2/2$ . L'aire $a_n$ est le quart de la différence entre l'aire de $D_n$ et celle du carré : \[ a_n = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi n^2}{4} - \frac{n^2}{2} \right) = \frac{\pi-2}{16} n^2 \] Pour $a'$ rien ne change, c'est la suite des multiples impairs mais pour un autre nombre : \[ a'_n = \frac{\pi-2}{16} (2n+1) \] La somme $\Sigma a'_n$ reste inchangée, elle vaut toujours $a_{n+1}$ . Les suites ont le même comportement qu'à la question 1.

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Question 2 (b) - La droite possède un coefficient directeur inconnu.

On considère le disque $D_n$ et on nomme son centre $C$ et $A$ sera l'intersection entre l'axe des abscisses et le cercle. On introduit l'angle $\alpha$ formé par $A, C, O$ et l'angle $\beta$ d'après le dessin. L'objectif est de calculer l'aire de $D_n$ situé au dessus de l'axe. Pour cela on forme la différence entre l'aire du secteur de disque $OCA$ et l'aire du triangle $OCA$ .

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Aire du secteur

On utilise une relation de proportionnalité : l'aire du secteur vaut celle du disque multipliée par le rapport $(\alpha/2\pi)$ . Il reste à trouver $\alpha$ . Or le triangle $OCA$ est isocèle en $A$ donc on a la relation d'angle : \[ \alpha + 2 \beta = \pi \] Il reste à trouver $\beta$ et pour se faire on considère la droite $d_m$ dont le coefficient directeur est $-m$ . Cela signifie que $\beta$ est l'angle d'un triangle rectangle de côté adjacent égal à 1 en horizontale, d'un côté opposé égal à $m$ en verticale. Sa tangente vaut $m$ et donc $\beta$ vaut $ \arctan (m) $ que l'on conserve tel quel. Le résultat est donc : \[ \frac{\alpha}{2\pi} \times \frac{\pi n^2}{4} = \left( \frac{\pi}{2} - \arctan (m) \right) \frac{n^2}{4} \]

Aire du triangle

Il est possible ici de connaître la valeur de l'aire du triangle. Pour cela on part de la formule \[ \frac{1}{2} B \times H \] avec la base et la hauteur à calculer. La base vaut $OA$ et la hauteur s'en déduit avec le théorème de Pythagore : \[ H = \sqrt{ OC^2 - \left( \frac{1}{2} OA \right) ^2 } \] Donc tout le calcul repose sur la connaissance de la longueur $OA$ . Il nous faut les coordonnées du point $A$ . Il a déjà pour ordonnée 0 puisqu'il fait partie de l'axe des abscisses. De plus il appartient au cercle de centre $C$ et de rayon $n/2$ . L'équation d'un cercle est : \[ (x-x_C)^2 + (y-y_C)^2 = r^2 \] où $x_C$ et $y_C$ sont les coordonnées du centre et $r$ le rayon. En appliquant cela à notre situation on trouve que l'abscisse $x_A$ vérifie : \[ (x_A-x_C)^2 = r^2 - y_C^2 \] car $y_A$ est nulle. Le rayon vaut $n/2$ et il reste à trouver les coordonnées de $C$ . Elles vérifient l'équation de la droite $d_m$ : \[ y_C = m x_C \] On sait aussi que $OC$ vaut $n/2$ car c'est le rayon, donc : \[ \sqrt{x_C^2+y_C^2} =\frac{n}{2} \] On trouve à l'aide de ces deux équations : \[ x_C = \frac{n}{2\sqrt{1+m^2}} \quad y_C = \frac{nm}{2\sqrt{1+m^2}} \] Ce qui permet de trouver $x_A$ , après extraction des racines carrées : \[ x_A = x_C \pm \sqrt{r^2-y_C^2} \] puis en substituant les valeurs trouvées : \[ x_A =  \frac{n}{2\sqrt{1+m^2}} \pm \sqrt{ \frac{n^2}{4} - \frac{nm}{2\sqrt{1+m^2}} } \] qui donne après simplification deux solutions. L'une étant 0 car le point $O$ vérifie les mêmes équations et l'autre est la valeur cherchée : \[ x_A = \frac{n}{\sqrt{1+m^2}} \] L'abscisse $x_A$ correspond à la longueur $OA$ , la base du triangle $OAC$ . L'aire du triangle est alors, en reprenant la formule pour $H$ : \[ \frac{1}{2} \times B \times H = \frac{1}{2} \times \frac{n}{\sqrt{1+m^2}} \times \sqrt{ \frac{n^2}{4} - \frac{1}{4} \times \frac{n^2}{1+m^2} } \] On trouve : \[ \frac{n^2 m}{4(1+m^2)} \]

Résultat

On trouve alors par soustraction : \[ a_n = \frac{n^2}{4} \left( \frac{\pi}{2} - \arctan (m) - \frac{m}{m^2+1} \right) \] Le nombre à l'intérieur de la parenthèse est fixe, il ne dépend que du coefficient $m$ . La suite $a$ est de même nature que celles vues avant, elle est proportionnelle au carré de l'entier $n$ . De même pour $a'$ . On garde les mêmes résultats sur les variations et rapports.

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Question 2 (c) - Disque coupé par deux droites.

Calculer dans un repère plus adapté.

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On considère $\vec{u}$ le vecteur directeur de $d_m$ et $\vec{v}$ celui de $d_r$ . On construit $\vec{w}$ tel qu'il forme avec $\vec{u}$ un repère orthogonal. Les coordonnées sont les suivantes : \[ \vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\ -m \end{pmatrix} \quad  \vec{v} \begin{pmatrix} 1 \\ -r \end{pmatrix} \quad  \vec{w} \begin{pmatrix} 1 \\ 1/m \end{pmatrix} \] On sait exprimer $\vec{u}$ et $\vec{w}$ en fonction de $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ . En inversant le système : \[ \begin{cases} \vec{u} = \vec{\imath} - m \vec{\jmath} \\ \\ \vec{w} = \vec{\imath} + \frac{1}{m} \vec{\jmath} \end{cases} \] on trouve : \[ \begin{cases} \vec{\imath} = \frac{1}{1+m^2} (\vec{u}+m^2 \vec{w}) \\ \\ \vec{\jmath} = \frac{m}{1+m^2} (\vec{w}-\vec{u}) \end{cases} \] On calcule le vecteur $\vec{v}$ dans la nouvelle base sachant qu'on avait : \[ \vec{v} = \vec{\imath} - r \vec{\jmath} \] En remplaçant les vecteurs de l'ancienne base par leur expression suivant la nouvelle : \[ \vec{v} = \frac{1+mr}{1+m^2} \vec{u} + \frac{m^2-mr}{1+m^2} \vec{w} \] Il faut prendre garde, car les nouveaux vecteurs ne sont pas de norme 1, le calcul donne : \[ u = \sqrt{1+m^2} \quad w = \frac{\sqrt{1+m^2}}{m} \] On introduit $\tilde{u}$ et $\tilde{w}$ qui sont les vecteurs unitaires de la nouvelle base. Le résultat est alors : \[ \vec{v} = \frac{1+mr}{\sqrt{1+m^2}} \tilde{u} + \frac{m-r}{\sqrt{1+m^2}} \tilde{w} \] La droite $d_r$ est toujours linéaire dans le nouveau repère, mais son coefficient directeur change. Un produit en croix donne : \[ \frac{m-r}{1+mr} \]

Méthode

La démarche consiste à se placer dans ce nouveau repère, en faisant un dessin on comprend qu'on peut conserver le repère de départ et étudier la droite $d_s$ . On calcule alors l'aire du disque comprise entre $d_s$ et l'axe des abscisses. Une fois le résultat obtenu on substitue à $s$ la valeur $-(m-r)/(1+mr)$ . L'aire recherchée est constituée d'un triangle et d'un secteur de disque. On nomme $C$ le centre du disque $D_n$ et $R$ l'intersection entre le cercle et la droite $d_s$ . Avec les coordonnées de $R$ on pourra calculer la base $OR$ et la hauteur de la même façon que dans la question 2(b) . Quant au secteur il faudra à nouveau se contenter d'un arc tangente.

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Calcul des coordonnées de $R$ . Aire du triangle.

$R$ appartient à la droite $d_s$ : \[ y_R = -s x_R \] $R$ appartient au cercle de centre $C(n/2\, ; 0)$ et de rayon $n/2$ : \[ \left( x_R-\frac{n}{2} \right) ^2 + y_R^2 = \frac{n^2}{4} \] Ce qui donne : \[ x_R = \frac{n}{1+s^2} \quad y_R = -\frac{ns}{1+s^2} \] On en déduit la base : \[ OR = \sqrt{ x_R^2+y_R^2} = \frac{n}{\sqrt{1+s^2}} \] Puis la hauteur en se servant du rayon comme hypoténuse et de la moitié de la base comme côté : \[ \sqrt{ \frac{n^2}{4} - \frac{n^2}{4(1+s^2)} } = \frac {ns}{2\sqrt{1+s^2}} \] D'où l'aire du triangle $OCR$ : \[ \frac{n^2s}{4(1+s^2)} \] 

Aire du secteur.

On note $\alpha$ l'angle du secteur. Le théorème de l'angle au centre indique qu'il vaut le double de $\beta$ l'angle à partir de $O$ . Et ce dernier est formé par la droite de coefficient $-s$ , donc sa tangente vaut $s$. On trouve comme aire : \[ \frac{n^2}{4} \arctan (s) \]

Résultat

Tout d'abord en fonction de $s$ le coefficient $a_n$ s'écrit : \[ a_n = \frac{n^2}{4} \left( \frac{s}{1+s^2} + \arctan (s) \right) \]  Il faut ensuite remplacer $s$ par $(r-m)/(1+mr)$ mais ici on n'aura pas plus de simplification. A noter la formule : \[ \arctan (r) - \arctan (m) = \arctan \left( \frac{r-m}{1+mr} \right) \]