Présentation
Après un aperçu de l'intérêt résidant dans la résolution des équations du second degré, nous présentons en première section les cas qui peuvent se traiter avec les outils simples déjà connus depuis le collège. Vient ensuite le cas où une nouvelle méthode est présentée, définition et calcul du discriminant, algorithme de résolution lié. Une brève section est consacrée aux positions qu'une courbe peut adopter suivant le nombre de ses racines et le signe du coefficient de plus haut degré. Ce qui revient à comparer la position d'une parabole par rapport à une droite spéciale (l'axe des abscisses) est généralisé dans la section suivante. On tient compte cette fois de deux fonctions de type polynôme du second degré. Deux sujets essentiels viennent compléter le chapitre: la construction d'une parabole à partir d'un certain nombre de points fixés à l'avance, puis la relation entre les racines et les coefficients.
L'étude complète de cette famille de fonctions $(x \mapsto ax^2+bx+c)$ permet de mettre en pratique les connaissances vues en Seconde sur des objets parmi les plus simples à traiter après les droites dans un repère cartésien. On élargit le champ de vision dans la section réservée aux problèmes avec un polynôme du troisième degré, en se rappelant des idées directrices pour l'établissement d'un discriminant.
Le chapitre 2 sur l'étude de fonctions apporte de nouvelles connaissances, on y présente la fonction réciproque de la fonction carrée $(x \mapsto x^2)$ qui est l'extraction de la racine carrée $(x \mapsto \sqrt{x})$. On trouve au chapitre 5 une étude de la dérivation tissant un lien entre les polynômes. Enfin le dernier problème consacré à l'étude d'une trajectoire finit de compléter les connaissances analytiques sur la parabole.
Découpage
- Cas simples
- Forme canonique
- Position
- Comparaison
- Compléments
Ouverture
- D'autres éléments seront apportés pour faire le tour du sujet, en particulier la partie géométrique est très peu abordée en 1ère S, pourtant c'est par là que les paraboles ont été en premier traitées. On verra donc comment définir ces figures et de quelle famille elles font partie.
- Les équations du troisième degré seront présentées dans les situations simples. La partie C du problème 2 y est déjà consacrée pour un cas particulier, l'aspect historique donne une meilleure compréhension de la place de ces équations.
- Plus généralement un exposé sera ajouté sur le polynômes. Les notions de degré, coefficients, racines, divisibilité entre polynômes seront détaillées. L'un des théorèmes les plus importants de l'algèbre appartient à ce domaine de recherche.
- Le polynôme du second degré se retrouve dans nombre d'applications physiques, celle présentée dans le dernier problème montre qu'une trajectoire peut être modélisée par une parabole. Une bonne connaissance du chapitre est nécessaire pour aborder la question de mouvement dans un champ gravitationnel.