Présentation
Le chapitre 6 est le premier de la partie Géométrie du programme. Les deux suivants sont Trigonométrie et Produit scalaire aux chapitres 7 et 8. D'abord il est préférable de revenir sur les notions acquises en Seconde générale autour des vecteurs, pour deux raisons principalement. Le concept de vecteur est aussi large que celui des fonctions, et on en voit que le point de vue géométrique en Seconde. Ensuite parce que cet outil s'avère utile dans la simplification des problèmes qui surviennent au cours des deux chapitres suivants en Géométrie.
Concrètement, les données purement géométriques sont transcrites en relations algébriques ou analytiques pour pouvoir être traitées par des méthodes systématiques, accessibles à des machines. Mais aussi parce que l'Analyse s'avère efficace et rapide dans les résolutions, si nous risquons de perdre en compréhension des mécanismes et relation entre objets géométriques (les figures sont plus intuitives), nous gagnons en vitesse de calcul et possibilités de résolution. En effet, il n'est pas utile de faire une construction, et certains résultats apparaissent de manière évidente par le calcul. Par exemple la donnée "Les deux droites sont orthogonales" seront traduites par une valeur "L'angle géométrique formé vaut 90 degrés" ou une relation entre les vecteurs directeurs " $\langle \vec{u} | \vec{v} \rangle = 0 $ ".
Découpage
Le chapitre s'étale sur 20 pages pour 4 sections:
- Translation: autour d'un aperçu historique, on montre que les propriétés fondamentales des translations peuvent donner naissance à un nouvel objet qui les définit de manière algébrique.
- Propriétés: tout ce qui caractérise une translation doit se retrouver sur un vecteur: direction, sens, longueur, somme, produit, proportionnalité, colinéarité.
- Vecteur directeur: nous revenons sur l'équation d'une droite dans un repère cartésien. Une famille de vecteurs peut définir une droite et réciproquement. En particulier certains vecteurs directeurs sont très utilisés en Analyse.
- Base vectorielle: on montre que deux vecteurs suffisent à repérer un plan. Un point et deux vecteurs forment une base, surtout l'accent est mis sur la relation entre les bases.
Nous concluons le texte sur une généralisation du concept. Ainsi il faut bien saisir que le vecteur a une existence très large au sein des mathématiques. Les nombres, les fonctions, les polynômes, les états d'un système mécanique ou informatique peuvent être vus comme des vecteurs. La question est alors de savoir ce qu'est l'espace qui les contient et les opérations que l'on peut effectuer. Pour réutiliser les propriétés que l'on établies dans le cas géométrique il faudra que l'une d'elles soit du même type que l'addition et l'autre ressemblante à la multiplication.