Présentation
C'est le coeur de la partie Géométrie en classe de Première. Le produit scalaire est un outil analytique permettant d'étudier des propriétés de la Géométrie à partir des coordonnées, comme l'orthogonalité, la linéarité, le sens des vecteurs, le calcul d'aires, de normes etc... Ses applications sont nombreuses et dépassent largement le cadre de la Géométrie, comme pour les ratios trigonométriques.
Nous présentons en première section la définition et les propriétés élémentaires de cet outil, en restant dans le cadre de la géométrie du plan. Vient ensuite à la deuxième section la question du calcul du produit scalaire. Si la définition peut parfois suffire, elle est difficile d'emploi dans le cas où l'angle formé par les deux vecteurs étudiés est inconnu. Trois méthodes sont alors proposées.
Une fois les bases assimilées, l'une des principales applications du produit scalaire est l'étude de l'orthogonalité et le calcul d'un vecteur normal à une droite donné. Ce qui fait l'objet de la troisième section. Trois autres applications pratiques sont proposées, le théorème de Pythagore généralisé, on parle alors de théorème d'Al Kashi; puis l'étude d'un mouvement en physique: une roue se déplaçant suivant un plan incliné. Enfin on montre en quoi le produit scalaire permet de rapidement changer de base en calculant les nouvelles coordonnées.
La dernière section est aussi une application du produit scalaire, cette fois-ci à la trigonométrie et le calcul des ratios pour une nouvelle relation angulaire: la somme de deux angles. En particulier, appliquée au même angle cela donne un lien entre un angle et sa moitié. Un exercice permet de généraliser au tiers d'un angle.
Découpage
- Propriétés
- Calcul
- Vecteur normal
- Applications
- Addition et duplication