Enoncé
- Soit $u$ la suite définie pour tout $(n\geq 1)$ par: $u_n=2n-7$. Soit $v$ définie pour tout $(n\geq 0)$ par: $v_n=u_{n-1}+3$. Déterminer les dix premiers termes des suites $u$ et $v$ et les représenter sur un graphique. Quelle transformation géométrique permet d'obtenir l'ensemble $(n\, ; v_n)$ à partir des points $(n\, ; u_n)$ ?
- Soient $u$ et $v$ définies pour tout $(n\geq 0)$ par: $u_n = (n+1)^2\; $ et $ \; v_n = n^2+1$. Soit $w$ vérifiant: $\forall n \in \mathbb{N}\quad w_n=u_n-v_n$.
- Donner les sept premiers termes de chacune des suites.
- Pour un entier $n$ fixé, comparer $u_n$ et $v_n$. Puis $w_n$ et $u_n$.
- Pour un entier $n$ fixé, comparer $u_{n+1}$ et $u_n$. Puis $v_{n+1}$ et $v_n$, et $w_{n+1}$ avec $w_n$.
- Exprimer le terme $w_n$ en fonction de $u$, puis de $v$.
Errata
Si $u$ est définie à partir de $u_1$ alors $v$ qui vient après et dépend de $u$ ne peut débuter qu'à partir de $v_2$. Ainsi il y a une erreur dans l'énoncé à la question 1.
Indication
- Pour le calcul, au choix vous pouvez le faire à la main pour s'entraîner mentalement, ou programmer l'algorithme affichant les dix premiers termes d'une suite dont l'expression est explicite. C'est le cas de $u$ et il est facile de trouver la forme explicite de $v$. La relation entre un point et un autre tient dans celles des ses coordonnées, il suffit de les comparer, abscisses entre elles et ordonnées entre elles. Comparer deux suites pour en connaître le lien géométrique revient à écrire une équation les faisant intervenir ensemble.
- Même conseil pour le calcul, sachant que $w$ a une forme explicite rapide à obtenir. La comparaison est aussi une équation qui lie deux quantités, en particulier on apprécie de lire la différence et le quotient. Les questions sont aussi liées, il est bon d'exploiter les résultats intermédiaires.
Solution
Question 1
Résolution
Les dix premiers termes de $u$ vont de $u_1$ à $u_{10}$. Même s'il est possible de définir $u_0$ et pourquoi pas $u_{-1}$ ainsi que tout indice entier relatif, l'essence de la définition tient dans la déclaration et non les possibilités. La déclaration s'est faite par l'expression $(n\geq 1)$ et c'est à partir de cette donnée que l'on cherche le premier terme. On peut se permettre pour si peu de valeurs de les calculer à la main, soit directement: \[ u_n=2n-7 \] ou par la relation de récurrence: \[ \begin{aligned} u_{n+1} & = 2(n+1)-7 \\ & =2n-7+2 \\ & =u_n+2 \end{aligned} \] On passe d'un terme à l'autre en ajoutant 2. Puisque $(u_1=-5)$ on obtient: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline \\ u_n & -5 & -3 & -1 & 1 & 3 & 5 & 7 & 9 & 11 & 13 \\ \hline \end{array} \] Puis vient la suite $v$ définie par: \[ v_n = u_{n-1}+3 \] L'erreur dans l'énoncé est évidente, on ne peut définir ni $v_0$, ni $v_1$. Ainsi $v$ existe à partir de $v_2$ et les dix premiers termes vont jusqu'à $v_{11}$ puisque $(11-2=9)$ ce qui donne 9 étapes, et il y a toujours un terme de plus que le nombre d'étapes. Le terme $v_n$ est lié à $u_{n-1}$ par une addition de 3. Ainsi il suffit de reprendre le tableau précédent et d'ajouter 3 à chaque terme dans la seconde ligne. Et l'on ajoute 1 sur la première ligne pour signifier le changement d'indice (on passe de $n$ à $(n-1)$ ) d'où: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ \hline \\ v_n & -2 & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & 15 \\ \hline \end{array}\] A présent si l'on compare directement $u_n$ à $v_n$ on trouvera aussi un lien, une lecture directe des deux tableaux montre qu'il pourrait s'agir de: \[ v_n = u_n +2 \] En effet: \[ \begin{aligned} v_n & = u_{n-1}+3 \\ & = 2 (n-1) -7 + 3 \\ & = 2n-7 + 1 \\ & = u_n +1 \end{aligned} \] Cette formule nous permet de répondre de la manière la plus simple à la question sur la transformation géométrique. Pour un entier $n$ donné nous avons une relation entre $u_n$ et $v_n$, soit une relation entre les points de coordonnées $(n\, ; u_n)$ et $(n\, ; v_n)$. Pour une même abscisse, nous construisons deux points et l'écart entre leurs ordonnées respectives vaut 1: \[ v_n - u_n =1 \] Ceci est vrai pour tout entier $n$. Le résultat que nous énonçons s'applique donc pour les graphes de ces suites. Un graphe est un ensemble de la forme : \[ \{ M ( n\, ; u_n ) \quad n\in \mathbb{N} \} \] Ce qui se traduit par: l'ensemble des points $M$ du plan dont l'abscisse est un entier et l'ordonnée le terme de la suite $u$ associé. Ici, le graphe de $v$ se déduit par une translation de celui de $u$ dont le vecteur est vertical, plus précisément: \[ (0\, ; 1) \] Nous pouvons énoncer un résultat similaire directement depuis la définition de $v$. Puisque: \[ v_n = u_{n-1} +3 \] il y a un lien entre le terme d'indice $(n-1)$ pour $u$ et $n$ pour $v$. La translation possède une composante horizontale égale à 1, et verticale égale à 3.
Graphique
Nous plaçons le graphique, bien qu'il soit recommandé lors de la résolution de le produire en premier pour mieux approcher la solution. De plus, rappelons qu'une suite peut se voir comme restriction d'une fonction à la partie $\mathbb{N}$ incluse dans $\mathbb{R}$. Ce qui signifie que pour la construire, il suffit de savoir placer la courbe associée à la fonction $(x \mapsto 2x-7)$. Les valeurs aux abscisses entières sont les termes $u_n$ recherchés. De même pour $v$ avec la fonction translatée $(x \mapsto 2x-6)$, on pourra faire le lien avec la section impliquée du chapitre 2 sur les changements de variables, pour mieux apprécier le style différent lorsqu'on traite de ce sujet du point de vue des suites, où le caractère discret modifie la perception du lien entre $u$ et $v$. Le discret est ici le nom donné à cette séparation entre chaque élément de la suite.
Ci-dessous, le graphique représente en pourpre la droite d'équation $(x \mapsto 2n-7)$, les points dessinés en noir sont donc ceux qui composent le graphe de $u$ et les bleus ceux issus du graphe de $v$. Le décalage d'une unité est représenté en pointillé.
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Remarque
Les suites $u$ et $v$ possèdent un pas régulier, elles font partie de la famille des suites arithmétiques: \[ \begin{cases} u_{n+1} & = u_n +2 \\ u_1 & = -5 \end{cases} \] Et: \[ \begin{cases} v_{n+1} & = v_n +2 \\ v_2 & = -2 \end{cases} \] Le même lien existe entre un terme et le suivant, mais puisque nous partons de termes initiaux différents, les deux suites sont entièrement distinctes sur tout $\mathbb{N}$. Leur forme explicite est: \[ u_n = 2n-7 \qquad v_n = 2n-6 \]
Question 2
(a) Premiers termes
Calculons les termes de $u$ et de $v$, ceux de $w$ s'en déduisent par soustraction. Tout d'abord $u$ est la suite des entiers qui sont des carrés, mais ils ne sont pas numérotés dans l'ordre. Le premier entier qui soit un carré est zéro mais il n'est pas pris en compte. Le terme d'indice zéro est lié au premier carré non nul. Puis le reste s'enchaîne normalement. Ainsi, on ne lit pas $u_n=n^2$ mais plutôt on applique un changement d'indice décalé vers l'avant: $u_n = (n+1)^2$. \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \\ u_n & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36 & 49 \\ \hline \end{array}\] Quant à la suite $v$ il s'agit des carrés augmentés de 1. Cette fois-ci zéro est pris en compte: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \\ v_n & 1 & 2 & 5 & 10 & 17 & 26 & 37 \\ \hline \end{array}\] Pour obtenir $w$ visuellement on aligne les deux tableaux et on soustrait à $u_n$ la quantité $v_n$ pour chaque colonne $n$: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \\ w_n & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 \\ \hline \end{array}\] Il semblerait que $w$ soit la suite des nombres pairs, mais un constat ne vaut pas une preuve: \[ \begin{aligned} w_n & = u_n - v_n \\ & = (n+1)^2 - \left( n^2+1 \right) \\ & = n^2+2n+1 - n^2 -1 \\ & = 2n \end{aligned} \]
(b) Comparaison des suites
La comparaison peut se faire en différenciant les termes généraux de $u$ et $v$. On compare leur valeur d'un point de vue de l'écart, soit la distance qui les sépare pour deux termes de même indice. Il peut s'agir aussi d'un rapport entre les termes pour estimer la taille d'un terme en fonction de l'autre. Ici nous avons: \[ u_n-v_n= w_n=2n \] Ainsi l'écart entre deux termes $u_n$ et $v_n$ est proportionnel à $n$ d'un facteur 2. Pour le rapport: \[\begin{aligned} \frac{u_n}{v_n} & = \frac{(n+1)^2}{n^2+1} & = 1+\frac{2}{n+1/n} \end{aligned} \] On peut le mettre sous la forme: \[ u_n = \left( 1 + \frac{2}{\delta_n} \right) v_n \] Les deux termes sont liés par un facteur sous forme d'une somme. Elle indique que le terme $u_n$ vaut $v_n$ additionné à une quantité supplémentaire. Plus $n$ devient grand et plus $\delta_n$ aussi. Ainsi la fraction $(2/\delta_n)$ diminue en valeur et tend vers zéro plus précisément. Quand $n$ tend vers l'infini les termes $u_n$ et $v_n$ ont tendance à s'approcher toujours plus au point qu'on peut approximer lorsque $n$ est grand: \[ u_n \approx (1+\varepsilon) v_n \] où le nombre $\varepsilon$ majore la fraction $2/\delta_n$. Puisqu'elle ne fait que diminuer, on se permet de la majorer par un nombre ne dépendant pas de $n$, et qui est aussi petit que l'on veut à condition d'aller chercher toujours plus loin. Les termes $u_n$ et $v_n$ ne se valeront jamais mais ils seront en comparaison de leur valeur assez proches. Ce qui peut paraître paradoxal quand on lit la différence: \[ u_n-v_n=2n \] puisque l'écart qui sépare deux termes est toujours plus grand. C'est juste que l'écart entre un terme $u_{n+1}$ et $u_n$ ainsi que $v_{n+1}$ et $v_n$ l'est tout autant.
Si l'on compare $w_n$ à $u_n$, il suffit de reprendre le lien entre les trois suites pour écrire: \[ u_n-w_n = v_n = n^2+1 >0 \] La différence est strictement positive pour tout entier $n$, donc chaque terme $u_n$ est strictement plus grand que chaque terme $w_n$. On dit que la suite $u$ majore $w$ sur tout $\mathbb{N}$, il arrive parfois qu'une suite en majore une autre uniquement sur quelques entiers. Le rapport donne: \[ \frac{u_n}{w_n} = 1+\frac{1}{2} (n+1/n) \] Les deux suites n'ont pas une valeur qui finit par se ressembler, au contraire, $u$ devient toujours plus imposante par rapprt à $w$. Le membre de droite sur l'équation ci-dessus est une somme. L'entier 1 indique que $u_n$ vaut au moins une fois $w_n$. Le nombre à droite tend à ressembler à la moitié de l'entier $n$. En effet, la valeur de $1/n$ comparée à $n$ devient toujours plus négligeable au fut et à mesure qu'on augmente la valeur de $n$, ils sont inversement proportionnels pour être plus précis. Ainsi lorsque $n$ devient grand, on écrit: \[ \frac{1}{2} (n+1/n) \approx \frac{1}{2} n \] de la même façon que lorsqu'on considère un milliard augmenté de un milliardième, dont on prend la moitié, cela est presque égal à la moitié d'un milliard.
(c) Comparaison entre termes
Après avoir mis en relation un terme de la suite $u$ avec celui de la suite $v$ de même indice, nous observons ce qu'il en est au sein d'une même suite. On compare les termes de $u$ entre eux, plus particulièrement nous recherchons le lien entre un terme et le suivant, pour comprendre le pas de la progression: \[ \begin{aligned} u_{n+1} & = (n+1+1)^2 \\ & = n^2+4n+4 \\ & = n^2+2n+1+(2n+3) \\ & = (n+1)^2+(2n+3) \\ & = u_n + (2n+3) \end{aligned} \] Plusieurs conclusions apparaissent, d'abord le signe de l'écart: \[ u_{n+1}-u_n > 0 \] nous enseigne que la suite est croissante. Le terme qui suit est toujours plus grand. De plus nous connaissons l'expression de cet écart: \[ 2n+3 \] nous voyons dans la suite du cours qu'il s'agit d'une progression arithmétique. Certes l'écart est toujours plus grand, et on peut dire mieux: il progresse à pas constant. A chaque nouveau saut d'étape, on ajoute deux untiés supplémentaire par rapport au saut précédent.
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De même pour $v$ et $w$ on trouve: \[ \begin{aligned} v_{n+1} & = (n+1)^2+1 \\ & = n^2+(2n+1)+1 \\ & = v_n + (2n+1) \end{aligned} \] La différence entre un terme et son suivant pour $v$ perd deux unités en comparaison à la différence entre les termes de $u$. Mais la nature est la même, il s'agit d'un décalage de type affine, comme pour les fonctions de la forme $(ax+b)$ nous avons ici $(an+b)$. Quant à la progression elle-même, on dit qu'elle est de type quadratique car dépendant du carré de la variable $n$.
On a pour $w$ une différence constante, alors que la progression est elle linéaire: \[ w_{n+1}-w_n = 2(n+1)-2n=2 \] On apprendra sur le cours des dérivées ce lien entre progression et différence de manière plus ciblée autour d'un point. On peut assimiler la différence entre deux termes d'une suite comme une notion de dérivée adaptée aux suites.
(d) Expression
Puisque: \[ u_{n+1}-u_n = 2n+3 \] et que: $w_n=2n$, on obtient en combinant ces deux résultats: \[ w_n=u_{n+1}-u_n-3 \] De même: \[ w_n=v_{n+1}-v_n-1 \] On peut aussi écrire $w_n$ en fonction d'un seul terme de la suite $u$ en posant: \[ w_n=2\sqrt{u_{n-1}} \qquad \forall n > 0 \]