Enoncé
Etudier la monotonie de chacune de ces suites:
- $u_{n+1} = -2u_n \qquad u_0 \in \mathbb{R}$
- $u_{n+1} = u_n^2 \qquad u_0 \in \mathbb{R}$
- $u_{n} = n^3-1 \qquad n \in \mathbb{N}$
- $u_{n} = \sqrt{v_n} - 1 \qquad v_n \geq 0$
Indications
Le résultat n'est pas le même suivant la valeur de $u_0$ pour les deux premières questions. On utilise la propriété 3.2 pour mener l'étude simplement. La réponse à la quatrième dépend de la monotonie de $v$. Il faut utiliser un argument sur la fonction racine carrée.
Solution
Question 1 - Récurrence linéaire
Pour se faire une idée de la progression d'une suite, rien de tel que le calcul des premiers termes: \[ u_1=-2u_0 \quad u_2=4u_0 \quad u_3=-8u_0 \quad u_4=16u_0 \] Un raisonnement par descente nous donne: \[ u_n=(-2)^n u_0 \] Tous les termes de la suite dépendent directement de $u_0$. Etant la forme de l'expression (un produit) il est bon de distinguer l'étude suivant la nullité et le signe de ce premier terme.
Si $(u_0=0)$ alors tous les termes de la suite sont nuls et $u$ est qualifiée de constante. Si $(u_0>0)$ alors le signe de $u_n$ dépend de celui de la puissance de $-2$. En fait, il en est de même dès que $u_0$ est non nul, il n'est pas utile de distinguer les signes. La suite n'a pas de monotonie, son signe est alterné. Il n'est donc pas utile de comparer $u_{n+1}$ à $u_n$.
On parle de récurrence car le calcul de $u_{n+1}$ s'exprime en fonction de la seule variable $u_n$ et elle est linéaire car: \[ u_{n+1} = f(u_n) \] où la fonction $f$ est linéaire: $f(x)=2x$.
Question 2 - Récurrence quadratique
Dans ce cas la fonction $f$ est quadratique: $f(x)=x^2$. Les premiers termes s'expriment ainsi: \[ u_1=u_0^2 \quad u_2=u_0^4 \quad u_3=u_0^8 \quad u_4=u_0^{16} \] Tous les termes sont des puissances du premier. Plus précisément on a: \[ u_n = u_0^{2^n} \] Encore une fois, il s'agit de produits, on vérifie les cas de nullité puis suivant le signe.
Si $u_0$ alors tous les termes sont nuls. La suite $u$ est constante.
Si $(u_0>0)$ alors $(u_n>0)$ pour tout $n$. Mais cela n'indique rien sur la monotonie si ce n'est qu'il peut y en avoir une. Pour tout $n$ on compare $u_{n+1}$ et $u_n$, c'est-à-dire un nombre et son carré. Or le chapitre 2 nous apprend qu'il y a deux cas stricts:
- $u_n>1$. Dans ce cas le carré est strictement plus grand que le nombre. Alors: $u_{n+1}>u_n$.
- $0<u_n<1$. C'est la situation inverse: $u_{n+1}<u_n$.
Seulement le résultat dépend de la position de $u_n$ par rapport à 1. Rien ne dit que pour tout $n$ nous aurons cette configuration. En effet, pour conclure sur une monotonie il faut donner un résultat pour tout $n\in \mathbb{N}$ ou au moins à partir d'un certain rang. Pour lever la difficulté, nous faisons remarquer le résultat suivant: \[ u_0>1 \quad \Rightarrow \quad \forall p \; \; u_0^p >1 \] Si le premier terme est au dessus de 1 alors tous les autres aussi. De même si $u_0$ est compris entre 0 et 1 alors tous les autres le seront. Finalement nous avons pour le cas $(u_0>0)$ trois possibilités: ou bien $(u_0>1)$ et alors la suite est strictement croissante. Ou bien $(0<u_0<1)$ et alors elle est strictement décroissante. Reste la situation $(u_0=1)$ où $u$ est constante égale à 1.
Si $(u_0<0)$ alors l'astuce pour s'éviter le moindre calcul consiste à écrire: $u_1=u_0^2$. Et voir que tous les termes de la suite $u$ s'expriment en fonction de $u_1$ qui est strictement positif: \[ u_n=u_1^{2^{n-1}} \] De plus $u_1$ est strictement positif et on a les trois mêmes possibilités que précédemment que l'on rattache à $u_0$ de la manière suivante:
- Si $(u_0<-1)$ alors $u$ devient strictement croissante à partir du rang 1.
- Si $(u_0=-1)$ alors $u$ est stationnaire à partir du rang 1.
- Si $(-1<u_0<0)$ alors $u$ devient strictement décroissante à partir du rang 1.
Question 3 - Formule explicite
Ici chaque terme dépend directement de son indice, $u$ est la fonction cubique restreinte aux seuls entiers naturels. Nous savons que la fonction $(x \mapsto x^3)$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Il en est de même pour toute restriction du moment que les termes sont pris dans l'ordre. Il n'est pas utile de former un calcul mais pour information, l'écart grandit à la vitesse quadratique: \[ u_{n+1}-u_n = 3n^2+3n+1 \]
Question 4 - Suite dépendant d'une autre suite.
Tout d'abord, rappelons que l'objectif est l'étude de la monotonie de $u$ et rien d'autre. Pour simplifier, nous voyons que retirer 1 à chaque terme ne change pas une monotonie. Ainsi on peut se contenter d'étudier la suite de terme général $\sqrt{v_n}$. De plus la fonction racine carrée est définie sur tout $\mathbb{R}^+$ et tous les termes de $v$ sont supposés positifs, ce qui implique la bonne définition de $u$. Ceci étant dit, la fonction racine carrée a la particularité d'être strictement croissante. Nous avons vu au chapitre 2 que composer avec une telle fonction conserve entièrement la monotonie de la première. Ainsi étudier $u$ revient à étudier $v$. Elles ont même monotonie.