Exercice 3.8 - Classe de suites arithmétiques

Enoncé

Soit $\ell$ une suite arithmétique non stationnaire, de raison $a$ et de premier terme $\ell_0$.

1. Montrer qu'il existe un terme $\ell_p$ de la suite de même signe que $a$.
    
2. Quel est le plus petit indice dont le terme $\ell_p$ vérifie la propriété. Raisonner par disjonction des cas.
    
3. Montrer que pour toute suite arithmétique $u$, le graphe de $u$ (l'ensemble des points $(n;u_n)$ ) appartient à une droite. Déterminer son équation.
    
4. Combien de suites arithmétiques de premier indice l'entier 0 porte une droite d'équation : $y=mx+\lambda$ ?
    
5. On dit que deux suites $u$ et $v$ sont de même classe si elles adoptent les mêmes valeurs/ Combien existe-t-il de classes pour l'ensemble des suites de raison 5, dont le premier indice est 0 et de premier terme un entier naturel?
    
6. Soient $u$ et $v$ deux suites arithmétiques, telles que $u_0=1$ et $v_0=5$ et de raisons respectives $a$ et $b$. On sait qu'elles coïncident pour $n=4$. Donner $a$ en fonction de $b$. Calculer $a$ et $b$ lorsque $u_4$ vaut 9, puis 5, puis 3 et enfin 0.
    

Errata

La question 5 est imprécise, on dit que deux suites sont de même classe si toutes les valeurs de l'une se retrouve dans l'autre. Exemple : la suite $(2 ; 3 ; 4 ; 5 \ldots)$ est incluse dans la suite $(1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 \ldots)$ Il y a donc dans une classe, lorsque celle-ci contient un nombre fini de suites, une suite qui rassemble plus de valeurs que toutes les autres.